Aufgabe WTR 3 - 1c, 1d - Differentialrechnung: Extrempunk… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Für jeden Wert von a mit $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = -3x^2 \cdot e^{a \cdot x}$ gegeben. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

c)

$G_a$ hat für jeden Wert von $a$ genau zwei Extrempunkte, von denen einer im Koordinatenursprung liegt. Begründen Sie, dass im Koordinatenursprung der Hochpunkt von $G_a$ liegt, und berechnen Sie die x-Koordinate des Tiefpunkts.

(zur Kontrolle: x-Koordinate des Tiefpunkts: $-\frac{2}{a}$)

d)

Es gibt einen positiven Wert von $a$, für den der Tiefpunkt von $G_a$ Eckpunkt eines Quadrats ist, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen. Ermitteln Sie diesen Wert von $a$ sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Quadrats.