Aufgabe WTR 2 - 1a, 1b - Differentialrechnung: Extrempunk… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 5x \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ von $f$.

Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt.

Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_1$ und $H_2$ beschrieben:

$H_1$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Gerade mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.

$H_2$ entsteht durch Spiegeln von $H_1$ an der Gerade mit der Gleichung $x = \ln 5$.

Der Punkt $S(\ln 5 \mid \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_1$ und $H_2$.

a

$G$ hat genau einen Extrempunkt.

Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von $G$. (zur Kontrolle: $(1 | \frac{5}{\mathrm{e}})$) [4 BE]

$($ $|$ $)$

b

Die Tangente $t$ an $G$ in dessen Wendepunkt hat die Gleichung $y = -\frac{5}{\mathrm{e}^2}x + \frac{20}{\mathrm{e}^2}$.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Gerade, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft. [3 BE]

$y =$