Aufgabe WTR 1 - 1b, 1d - Differentialrechnung: Wendepunkt… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen

$$f_a: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - ax + 2a \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt einen Graphen der Schar.

Betrachtet wird im Folgenden die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 2x + 4$. Die Funktion $f$ entspricht der Funktion $f_2$ der Schar, Abbildung 1 zeigt somit den Graphen $G_f$ von $f$. Dieser ist symmetrisch bezüglich des Punkts $(0 \mid 4)$.

Die Tangente an $G_f$ im Punkt $P(3 \mid f(3))$ wird mit $t$ bezeichnet; $y = 7x - 14$ ist eine Gleichung von $t$.

b)

Zeigen Sie rechnerisch, dass jeder Graph der Schar genau einen Wendepunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an.

$W($

$\mid$

$)$

d)

Zeigen Sie rechnerisch anhand geeigneter Termumformungen, dass $f(x)-(7x-14)=\frac{1}{3}\cdot (x-3)^2\cdot (x+6)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.

Begründen Sie mithilfe dieses Zusammenhangs, dass $t$ und $G_f$ neben $P$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen.

$x =$