Examen de Matemáticas II PAU País Vasco 2022 · Ordinaria

Ejercicio A1

Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro $\alpha$:

$\begin{cases}

x + y + \alpha z = \alpha, \\

2x + \alpha y + \alpha z = 1, \\

x + \alpha y + z = 1.

\end{cases}$

Resuelve el sistema para $\alpha = -1$ y $\alpha = 1$, si es posible.

Resolución para $\alpha = 1$ (toma $y$ como parámetro libre):

x =

z =

Resolución para $\alpha = -1$:

x =

y =

z =

Sea la matriz

$$A = \begin{pmatrix} m & m & 2 \\ 1 & m-2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.$$

(a)

Determina para qué valores del parámetro $m$ la matriz $A$ no tiene inversa.

(b)

Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $m = 0$.

Se consideran la recta $r$ cuyas ecuaciones paramétricas son:

$$r \equiv \begin{cases} x = t, \\ y = 2t, \\ z = 0; \end{cases}$$

y el plano $\pi \equiv x + y + z - 2 = 0$.

Calcula las coordenadas de un punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que la distancia de $P$ al plano $\pi$ sea igual que la distancia de $P$ al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.

$t_1 =$

$t_2 =$

$P_1 = ($

,

,

)

$P_2 = ($

,

,

)

Ejercicio B2

Sean el punto $P = (1, 2, a)$, donde $a \neq 0$, y el plano $\pi \equiv x + y + 2z = 3$. Halla las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$.

$P' = ($ $,$ $,$ $)$

Ejercicio A3

Dada la función $f(x) = (x - 1)^2 e^{-2x}$, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.

a)

b)

c)

Ejercicio B3

Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f$ se anule en el punto de abscisa $x = 1$ y las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x = -1$ y $x = 3$ sean paralelas a la recta $y = 2x + 1$.

Ejercicio A4

Calcula la siguiente integral indefinida:

$$\int \frac{7x + 13}{(x + 1)(x^2 - x - 2)}\,dx$$

Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = e^x$, $g(x) = e^{-x}$ y la recta horizontal $y = e$, y calcula el área de ese recinto.

$\text{u}^2$

Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras:

T: 4 bolas negras y 6 blancas,

R: 7 bolas negras y 3 blancas.

Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:

(a)

sean negras,

(b)

sean blancas,

(c)

sean de distinto color.

El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribución normal de media $52$ y desviación típica $6{,}5$.

(a)

Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendida entre $50$ y $68$ gramos.

(b)

Si el $30\,\%$ de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?

g