Examen de Matemáticas II PAU País Vasco 2021 · Ordinaria

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $\alpha$:

$$\begin{cases} \alpha x - y + z = 1, \\ 3x - y + \alpha z = \alpha, \\ x + (\alpha - 1)z = 1. \end{cases}$$

Resolver el sistema para $\alpha = 3$, si es posible.

Sea la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha & -1 \end{pmatrix}$$

a)

Determinar para qué valores del parámetro $\alpha$ la matriz $A$ no tiene inversa.

b)

Calcular, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $\alpha = 2$.

Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, a, -1)$ y $B = (b, 1, 1)$ y $\pi$ el plano de ecuación $x + y - 2z = 2b$.

a)

Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$.

$a =$

$b =$

b)

Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$.

$a =$

$b =$

Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P = (-2, 1, 0)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ de ecuaciones paramétricas

$$\{x = 1 - 2t,\ y = 1 + t,\ z = t\}.$$

Calcular la distancia de $P$ al punto de corte de ambas rectas.

$x(t) =$

$y(t) =$

$z(t) =$

u

Ejercicio A3

Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = 5 + 8x^2 - x^4$. Representar la gráfica de $f$.

a)

Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$:

b)

Indica las abscisas $x$ donde se alcanzan los extremos relativos:

c)

Representar la gráfica de $f$.

Ejercicio B3

Sea la función $f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + A$.

a)

Obtener los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la gráfica de $f$ pase por el punto $(0, 1)$ y tenga un mínimo en el punto $(1, 1)$.

$A =$

$B =$

$C =$

b)

¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.

Ejercicio A4

Sean las funciones: $f(x) = 1/x$, $g(x) = x^2$, $h(x) = x^2/8$.

a)

Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.

b)

Calcular el área de dicho recinto.

Ejercicio B4

Calcular, explicando los métodos utilizados,

$$I = \int (x + 2) \sin(2x) \, dx \qquad \text{y} \qquad J = \int \frac{x + 7}{x^2 - 4x - 5} \, dx.$$

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Ejercicio A5

En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80% corresponde al medicamento A, el 10% al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10% de A, el 20% de I y el 5% de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:

a)

La probabilidad de coger un medicamento caducado.

b)

Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.

Ejercicio B5

En una ciudad se han elegido al azar 3900 personas. Hallar:

a)

La probabilidad de que al menos 15 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.

b)

La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 5 y 15, ambos incluidos.