Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2023 · Ordinaria

1.- (2 puntos) Sea $$f(x) = \frac{x}{(x-2)(x-1)}$$

(i)

Halla el dominio, asíntotas verticales y horizontales de la función $f$, en caso de que existan.

(ii)

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos si los hubiera.

2.- (2 puntos) Halla el área del recinto encerrado por las gráficas de las parábolas $y = x^2 - 2x + 1$ e $y = -2x^2 + 2x$.

a)

$x_1 =$

$x_2 =$

b)

u²

3.- (2 puntos) Calcula los siguientes límites:

(i)

$$\lim_{x \to 0} \left(e^x + x^3\right)^{\frac{1}{x}}$$

(ii)

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 - 1}{x + 2} - \frac{x^2 + 1}{x - 2}\right)$$

4.- (2 puntos) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado:

$$\begin{cases} x + (a + 1)y + z = a, \\ x + y + (a + 1)z = a, \\ (a + 1)x + y + z = a. \end{cases}$$

5.- (2 puntos) Dada una matriz de tamaño $4 \times 4$ cuyo determinante es igual a $2$. Calcula el valor del determinante de la matriz resultante al realizar las siguientes operaciones:

(i)

Se traspone la matriz.

(ii)

A partir de la matriz de (i), se cambian entre sí la primera y la cuarta columna.

(iii)

A partir de la matriz obtenida, se multiplica la tercera columna por $-4$.

(iv)

A partir de la matriz obtenida, se multiplica toda la matriz por $4$.

6.- (2 puntos) Determina para qué valores del parámetro real $a$ la matriz $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a - 1 & a^2 - 1 & 1 \\ a^2 - 1 & a - 1 & a + 1 \end{pmatrix}$$

tiene inversa. Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a = 2$.

a)

b)

7.- (2 puntos) Determina la posición relativa de la recta

$$\frac{x - 3}{0} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 5}{1}$$

y el plano de ecuación $3x + 2y - 11z + 3 = 0$.

8.– (2 puntos) Halla el punto simétrico del punto $A(0, 2, 3)$ respecto al plano $\pi$ de ecuación $x + y - z = 4$.

$A'($,, $)$

9.– (2 puntos) En una empresa automovilística se ha recibido un lote de piezas de coches de tipos $A$, $B$ y $C$. El $80\,\%$ corresponde al coche de tipo $A$, el $10\,\%$ al $B$ y el resto al $C$. Se ha observado que hay piezas que están defectuosos en los siguientes porcentajes: el $10\,\%$ de $A$, el $20\,\%$ de $B$ y el $5\,\%$ de $C$. Se elige una pieza al azar. Calcula:

(i)

La probabilidad de coger una pieza defectuosa.

(ii)

Si sabemos que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo $A$.

10.- (2 puntos) La edad media de un jugador de la NBA sigue una distribución normal de media $26$ años y desviación típica $5$ años. Si se elige un jugador al azar, halla

(i)

la probabilidad de que su edad sea superior o igual a $31$ años;

(ii)

la probabilidad de que su edad esté entre $21$ y $31$ años.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)