Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2022 · Ordinaria

1.- (2 puntos) Dada la curva $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 4$

(i)

Halla los puntos de la curva en los que la recta tangente a ésta pase por el punto $(0,0)$.

Indica los puntos ordenados de menor a mayor abscisa ($x_1 < x_2$):

$x_1 =$

$,\quad y_1 =$

$x_2 =$

$,\quad y_2 =$

(ii)

Da las ecuaciones de las rectas tangentes.

2.- (2 puntos) Halla el área de la región que delimita la gráfica de la función $g(x) = x\operatorname{sen} x$ y el eje de las abscisas en el intervalo que va de $x = 0$ al menor valor $b > 0$ tal que $g(b) = 0$.

a)

b)

3.- (2 puntos) Determina, si existe, el valor de $a$ de tal manera que:

(i)

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{9x^2 + ax + 1} - (3x - 1)\right) = 2$$

(ii)

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x + a}{3x - 1}\right)^x = e$$

4.– (2 puntos) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado.

$$\begin{cases} x + y + az = a, \\ ax + ay + z = 1, \\ x + ay + z = a. \end{cases}$$

Escribe el análisis del sistema (valores de $a$ para los que es incompatible, compatible determinado o indeterminado) y su resolución completa en cada caso:

5.– (2 puntos) Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}.$$

(i)

Determina para qué valores de $a$ la matriz $AB$ tiene inversa.

(ii)

Resuelve para $a = 0$ la ecuación matricial $ABX = 3I$, siendo $I$ la matriz identidad.

6.– (2 puntos) Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para los que $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ es solución del sistema

$$\begin{cases} 2ax + by + z = 3c, \\ 3x - 2by - 2cz = a, \\ 5ax - 2y + cz = -4b. \end{cases}$$

7.- (2 puntos) Halla la ecuación de una recta paralela al plano $\pi \equiv x + y + z = 0$ y que contenga al punto $P(1, 0, 1)$. ¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.

Sí

No

8.– (2 puntos) Determina los valores de los parámetros $a$, y $b$ para que el plano $\pi$ contenga a la recta $r$, donde:$$\pi \equiv ax + y + z = b, \quad r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases}$$

9.– (2 puntos) En un distrito universitario, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el $20\,\%$ estudian Matemáticas, el $35\,\%$ Medicina y el $45\,\%$ Arquitectura. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del $5\,\%$, $12\,\%$ y del $18\,\%$. Se elige un alumno al azar. Halla la probabilidad de que:

(i)

finalice sus estudios;

(ii)

estudie Medicina si no finaliza sus estudios.

10.– (2 puntos) Una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal de media $4$ y desviación típica $2$. Calcula el valor de $a$ para que:

$$P(4 - a \le X \le 4 + a) = 0{,}5934.$$

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)