Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2025 · Ordinaria

APARTADO 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (2,5 puntos)

La producción de vino por hectárea (ha) de terreno en una comarca sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$. Los datos históricos indican que solo en el $2\%$ de los años la producción supera los $9000\text{ kg/ha}$, mientras que en el $56\%$ de los años queda por debajo de los $8315\text{ kg/ha}$.

a)

(1,75 puntos) Calcula la media y la desviación típica de la distribución.

kg/ha

kg/ha

b)

(0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que la producción supere los $8500\text{ kg/ha}$ en un año elegido al azar.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)

APARTADO 2. ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 2.1 o 2.2

2.1 (2,5 puntos) La vela de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Si la hipotenusa mide $8\text{ m}$, calcula las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.

2.2 (2,5 puntos) Sea la función $f(x) = -x^2 + \alpha x + 11$, donde $\alpha$ es un parámetro real. Calcula el valor de $\alpha$ para que $f(x)$ tenga un máximo relativo en $x = 1/2$. Para ese valor de $\alpha$ calcula el área encerrada entre las gráficas $f(x)$ y $f'(x)$.

u²

3.1 Responda a los dos subapartados siguientes.

a)

[1,25 puntos] Dado el sistema de ecuaciones homogéneo$$\begin{cases} 3x + y - z &= 0 \\ 3x + 2y - mz &= 0 \\ x - y - z &= 0 \end{cases}$$indica para qué valores de $m$ el sistema tiene solamente la solución trivial. Resuelve el sistema anterior para un valor de $m$ que lo haga compatible indeterminado.

$m \neq$

$x =$

$y =$

$z =$

b)

[1,25 puntos] Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, resuelve el sistema$$\left(A - \frac{1}{3}A^T\right)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}$$donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.

$x =$

$y =$

$z =$

3.2 Responda a los dos subapartados siguientes.

a)

(1,25 puntos) Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix},$$

estudia el rango de la matriz $A - \lambda I$, según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

b)

(1,25 puntos) Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix},$$

calcula su determinante. ¿Qué solución tiene el sistema $AX = b$ siendo $b = (0,0,0,0)^T$? Nota, $b^T$ denota matriz traspuesta de $b$.

APARTADO 4. GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2

4.1 Responda a los dos subapartados siguientes.

a)

(1,25 puntos) Obtén el valor del $m$ para el cual las rectas $r \equiv x = y = z - m$ y $$s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{2y}{3} = 2z - 2$$ se cortan. Calcula el punto de corte de $r$ y $s$ para el valor de $m$ calculado.

($$, $$, $$)

b)

(1,25 puntos) Se consideran los puntos $P = (0, 2, -1)$ y $Q = (2, -2, 1)$. Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.

APARTADO 4. GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2

4.2 Responda a los dos subapartados siguientes.

a)

(1,25 puntos) Dada la recta $r$, $r \equiv x - 2 = y + 1 = -z$, calcula la ecuación de la recta $s$ que corta a $r$ perpendicularmente y que pasa por $Q = (2, -2, 1)$.

Indica un vector director $\vec{v}_s = (v_x, v_y, v_z)$ de la recta $s$ (tomando las componentes enteras más simplificadas posibles):

b)

(1,25 puntos) Dados los planos $m x + 2y - 3z - 1 = 0$ y $2x - 4y + 6z + 5 = 0$, halla los valores de $m$ para que sean:

i) paralelos.

ii) perpendiculares.