Examen de Matemáticas II PAU La Rioja 2026 · Ordinaria

PARTE A

Contesta TODAS las preguntas de esta parte. Preguntas 1, 2 y 3.

Pregunta 1.

En el grado de Matemáticas la probabilidad de aprobar las asignaturas: Métodos Algorítmicos en Matemáticas, Estadística y Bases de datos son 60 %, 75 % y 80 %, respectivamente.

a)

Elegido al azar un estudiante que cursa las tres asignaturas, calcula la probabilidad de aprobar las tres. [0.5 puntos]

b)

Elegido al azar un estudiante que cursa las tres asignaturas, calcula la probabilidad de suspender solo una de las tres. [0.75 puntos]

c)

Elegido al azar un estudiante que habiendo suspendido solo una de las tres, calcula la probabilidad de que haya sido Métodos Algorítmicos en Matemáticas. [0.75 puntos]

En un reparto de tierras una de las parcelas está delimitada por las curvas $y = \sqrt{4 - x}$, $y = \sqrt{4 - 4x}$ e $y = 0$.

(a)

En un reparto de tierras una de las parcelas está delimitada por las curvas $y = \sqrt{4 - x}$, $y = \sqrt{4 - 4x}$ e $y = 0$. Ayudándote de la Figura 1, determina el área de esa parcela. [1 punto]

En un reparto de tierras una de las parcelas está delimitada por las curvas $y = \sqrt{4 - x}$, $y = \sqrt{4 - 4x}$ e $y = 0$.

(b)

En dicha parcela el propietario decide hacer una piscina rectangular, de tal manera que uno de sus lados está en el eje $y = 0$, véase la Figura 1. Calcula el área máxima de la piscina. [1 punto]

En una tienda de comida para llevar, el producto más vendido se elabora con tres variantes: A, B y C. Cada variante se vende en dos tamaños: pequeño y grande. Cada día se elaboran las cantidades de cada variante que aparecen en la siguiente tabla:

· A · B · C

pequeño · 100 · 50 · 100

grande · 160 · 150 · 100

De la variante A venden en tienda el 50 %, de la variante B el 60 % y de la variante C el 40 %. El resto se reparte a domicilio.

a)

Escribe la matriz que expresa el número de productos según el tamaño y la variante. [0.5 puntos]

b)

Escribe la matriz que expresa el número de productos y el porcentaje según la variante y el tipo de venta (tienda y domicilio). [0.5 puntos]

c)

Calcula la matriz que expresa el número de productos según tamaño y tipo de venta. [1 punto]

PARTE B (Preguntas 4 y 5.)

Pregunta 4. Contesta solo a una de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2)

4.1 Dada la función $f(x) = xe^{-2x^2}$,

a)

determina su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas. [0.75 puntos]

b)

Halla los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento y, los puntos de inflexión. [0.75 puntos]

c)

Con la información obtenida en los apartados anteriores representa la curva. [0.5 puntos]

PARTE B (Preguntas 4 y 5.)

Pregunta 4. Contesta solo a una de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2)

4.2 Contesta justificadamente los siguientes apartados:

a)

[1 punto] Calcula el siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{2\left(\frac{x}{\sin x} - 1\right)}{a^2 x^2}, \quad a \neq 0.$$

PARTE B (Preguntas 4 y 5.)

Pregunta 4. Contesta solo a una de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2)

4.2 Contesta justificadamente los siguientes apartados:

b)

Sea la función $f(x) = x^3(x - 1)^2 + 1$. Demuestra que la ecuación $f'(x) = 0$ tiene alguna solución en $(0, 1)$. [1 punto]

5.1 Contesta justificadamente los siguientes apartados:

En un chiringuito de playa se instala un toldo para los clientes. El toldo se coloca en los siguientes puntos de apoyo: $(3, 8, 17/2)$, $(4, 6, 37/4)$, $(2, 8, 8)$ y $(s, 16, 8)$, con $s \in \mathbb{R}$.

a)

Determina la ecuación del plano que contiene al toldo. [0.75 puntos]

b)

Calcula el valor de $s$ para que los cuatro puntos sean coplanarios, es decir, están en el mismo plano. [0.75 puntos]

c)

Se quiere instalar un altavoz para poner música y este debe estar como mínimo a 2 metros de distancia del toldo, ¿estará correctamente colocado si el altavoz está en el punto $(0, 0, 5)$? [0.5 puntos]

Sí

No

5.2 Contesta justificadamente los siguientes apartados:

Sean las rectas $r: \dfrac{x}{2} = y - 3 = \dfrac{z - 1}{-2}$; y $s: \begin{cases} x = -2\lambda, \\ y = \lambda, \\ z = 1 + \lambda, \end{cases}$

a)

Estudia la posición relativa de las dos rectas $r$ y $s$. [1 punto]

b)

Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $P \equiv (1, 1, -1)$ y es paralelo a las dos rectas $r$ y $s$. [1 punto]