Examen de Matemáticas II PAU Castilla y León 2026 · Ordinaria

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:$$\begin{cases} (m-10)x - 2y - z = -1 \\ 7x + (m+2)y + 2z = m + 1 \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases}, \quad \text{donde } m \in \mathbb{R}.$$

a)

Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m. [1,5 puntos]

b)

Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $m = 3$. [1 punto]

Problema 1B. (Propuesto en Galicia, Modelo 0 de 2025)

a)

Calcular $A$ si $(AB)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. [1 punto]

Introduce los elementos de la matriz $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$:

b)

Si $M = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ es invertible, calcula $x, y, z$ sabiendo que $(3z)M^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$. Entiéndase que $I$ es la matriz identidad. [1,5 puntos]

APARTADO 2: (elegir UN problema)

Problema 2A.

a)

Calcular $\int_0^1 \frac{x^3 - 5}{\sqrt{x}}\,dx$.

(1,25 puntos)

APARTADO 2: (elegir UN problema)

Problema 2A.

b)

Probar que la función $f(x) = 2 - e^x$ posee una sola raíz real, encontrando un intervalo que la contenga.

(1,25 puntos)

APARTADO 2: (elegir UN problema)

Problema 2B.

a)

Dada la función $f(x) = \frac{1}{1 + e^x}$. Determinar su dominio de definición, su monotonía y sus asíntotas. Justifica la existencia o no de extremos relativos.

(1,5 puntos)

APARTADO 2: (elegir UN problema)

Problema 2B.

b)

Calcular $\int_0^\pi \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx$.

(1 punto)

Dados el plano $\pi_1 \equiv 2x - 3y + z = a$ y el plano $\pi_2$ determinado por el punto $P(0,2,4)$ y los vectores directores $\vec{v}_1 = (0,2,6)$ y $\vec{v}_2 = (1,0,b)$, se pide:

a)

Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $\pi_1$ y $\pi_2$ sean paralelos y distintos. [0,75 puntos]

b)

Para $a = 1$ y $b = 0$ determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$. [0,75 puntos]

Dados el plano $\pi_1 \equiv 2x - 3y + z = a$ y el plano $\pi_2$ determinado por el punto $P(0,2,4)$ y los vectores directores $\vec{v}_1 = (0,2,6)$ y $\vec{v}_2 = (1,0,b)$, se pide:

c)

Para $a = 4$ y $b = -2$ determinar los puntos que están a igual distancia de $\pi_1$ y $\pi_2$. [1 punto]

Una empresa fabrica móviles de tres marcas distintas: $A$, $N$ y $M$. El $20\%$ de los móviles son de la marca $A$ y el $40\%$ de la marca $N$. Se decide instalar un software oculto que permita espiar a los usuarios de estos móviles. El software oculto se instala en el $15\%$ de los móviles de la marca $A$, en un $10\%$ de la marca $N$ y en un $12\%$ de los móviles de la marca $M$. Se pide:

a)

Describir todas las probabilidades, condicionadas y no condicionadas, que se deducen directamente del enunciado. [0,3 puntos]

b)

Determinar la probabilidad de que un móvil fabricado por esta empresa tenga instalado el software espía. [1 punto]

c)

Si un móvil fabricado por esta empresa tiene instalado el software espía, calcular la probabilidad de que sea de la marca $A$. [1,2 puntos]

De una bolsa de 20 fichas numeradas del 1 al 20 se extraen sucesivamente 2 fichas sin reemplazamiento. Se pide:

a)

Calcular la probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 3. [0,5 puntos]

b)

Calcular la probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 6 y el segundo sea múltiplo de 3. [0,75 puntos]

c)

Calcular la probabilidad de que ninguno de los dos números sean múltiplos de 2. [0,75 puntos]

d)

Calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea un numero impar, sabiendo que la primera también lo ha sido. [0,5 puntos]