Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla-La Mancha 2023 · Ordinaria

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + tx - 1 & \text{si } x \le 1 \\ x + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función $f(x, y) = -x - 5y + 10$ sujeta a las siguientes restricciones:

$$\begin{cases} x - y \ge 0 \\ -4 \le x \le 4 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$$

a)

Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1.25 puntos)

b)

Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0.25 puntos)

con valor

con valor

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + tx - 1 & \text{si } x \le 1 \\ x + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

2. La discografía de un legendario grupo de rock se reedita en tres discos (I, II y III) y las ventas totales ascienden a 70000 unidades. Sabemos que del disco III se vendieron las mismas unidades que entre los otros dos discos juntos y que la diferencia entre las unidades vendidas del III y las del II equivalen al triple de la diferencia entre las unidades vendidas del II y las del I.

a)

Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de unidades de cada disco se vendieron. (0.75 puntos)

Tomando $x = \text{unidades del disco I}$, $y = \text{unidades del disco II}$, $z = \text{unidades del disco III}$:

Ecuación 1 (ventas totales):

Ecuación 2 (disco III = I + II):

Ecuación 3 (diferencia III y II = triple diferencia II e I):

b)

Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + tx - 1 & \text{si } x \le 1 \\ x + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a)

¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x = 1$? (0.5 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + tx - 1 & \text{si } x \le 1 \\ x + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

b)

Para $t = 2$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-\infty, 1)$. (0.5 puntos)

c)

Para $t = 2$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-\infty, 1)$. (0.5 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + tx - 1 & \text{si } x \le 1 \\ x + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

2. La función $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$ tiene un punto de inflexión en $(2, -5)$ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es $-12$. Calcula razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$, y $c$.

Una asociación benéfica ha tomado una muestra de 9 personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo 60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45 y 30 euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 100\text{ euros}^2$:

$z$

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

3. En un determinado instituto el 50 % de los estudiantes prefiere como red social Facebook, pero un 30 % de estos no publica habitualmente nada. El 35 % prefiere Instagram, pero solo el 30 % de los que prefieren esta plataforma hacen publicaciones habitualmente. Finalmente, el resto de los estudiantes prefiere TikTok y un 60 % de estos no publica habitualmente.

a)

Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no publique habitualmente nada en su red social preferida? (0.75 puntos)

b)

Si se sabe que un estudiante publica habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que su red social preferida sea Instagram? (0.75 puntos)

Una asociación benéfica ha tomado una muestra de 9 personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo 60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45 y 30 euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 100\text{ euros}^2$:

$z$

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

4. Una asociación benéfica ha tomado una muestra de 9 personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo 60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45 y 30 euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 100\text{ euros}^2$,

a)

Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del dinero donado con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b)

Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 2 euros. (1 punto)

z · 0.00 · 0.01 · 0.02 · 0.03 · 0.04 · 0.05 · 0.06 · 0.07 · 0.08 · 0.09

2.0 · 0.9772 · 0.9778 · 0.9783 · 0.9788 · 0.9793 · 0.9798 · 0.9803 · 0.9808 · 0.9812 · 0.9817

2.1 · 0.9821 · 0.9826 · 0.9830 · 0.9834 · 0.9838 · 0.9842 · 0.9846 · 0.9850 · 0.9854 · 0.9857

Una asociación benéfica ha tomado una muestra de 9 personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo 60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45 y 30 euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 100\text{ euros}^2$:

$z$

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

Bloque 2

3. Un teatro ha vendido las 660 entradas disponibles que tenía para un espectáculo. El número de entradas que se han vendido para jubilados es la cuarta parte de las entradas que se han vendido para adultos. Además, las entradas para niños equivalen al 10 % de las que se han vendido entre adultos y jubilados.

a)

Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cómo se han repartido las entradas entre adultos, jubilados y niños. [0,75 puntos]

Define $x$ como el número de entradas para jubilados, $y$ para adultos y $z$ para niños, o introduce las tres ecuaciones separadas por punto y coma:

b)

Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. [0,75 puntos]

Una asociación benéfica ha tomado una muestra de 9 personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo 60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45 y 30 euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 100\text{ euros}^2$:

$z$

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

4. Dadas las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \end{pmatrix},$$

a)

Calcula $A \cdot B \cdot C^T$ (0.75 puntos)

$\begin{pmatrix}

\text{[ elemento 1 ]} \\

\text{[ elemento 2 ]} \\

\text{[ elemento 3 ]}

\end{pmatrix}$

Fila 1:

Fila 2:

Fila 3:

b)

Calcula $\frac{1}{3}B^2 - I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. (0.75 puntos)

c)

Razona si se puede calcular $(A - B) - C$ y $B \cdot C$ (No es necesario realizar las operaciones). (0.5 puntos)

Sección 3 (3.5 puntos)

5. De los 80 estudiantes solicitantes de una beca Erasmus en Italia, 50 son mujeres. Se seleccionan al azar y sin reposición a 3 estudiantes que serán los que disfruten de la beca Erasmus en ese destino. Calcular la probabilidad de que:

a)

Los tres seleccionados sean mujeres. [0,5 puntos]

b)

Los tres seleccionados sean del mismo sexo. [0,5 puntos]

c)

Al menos dos de los seleccionados sean hombres. [0,5 puntos]

Sección 3 (3.5 puntos)

6. Un fabricante de motores para coches de Fórmula 1 ha tomado una muestra aleatoria de 81 motores para examinar su peso, proporcionando una media de $153\text{ kg}$. Si se sabe que el peso de los motores sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 30\text{ kg}$,

z · 0.00 · 0.01 · 0.02 · 0.03 · 0.04 · 0.05 · 0.06 · 0.07 · 0.08 · 0.09

1.8 · 0.9641 · 0.9649 · 0.9656 · 0.9664 · 0.9671 · 0.9678 · 0.9686 · 0.9693 · 0.9699 · 0.9706

1.9 · 0.9713 · 0.9719 · 0.9726 · 0.9732 · 0.9738 · 0.9744 · 0.9750 · 0.9756 · 0.9761 · 0.9767

a)

Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del peso de los motores con un nivel de confianza del $95\,\%$. [1 punto]

,)

b)

¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del $93{,}12\,\%$? [0,5 puntos]

c)

El fabricante afirma que el peso medio de los motores es de $145\text{ kg}$. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del $92\,\%$? Justificar la respuesta. [0,5 puntos]

Sí

No

Sección 3 (3.5 puntos)

5. Se considera la función$$f(x) = \begin{cases} -(x + t)^2 + 2 & \text{si } x \le -2 \\ t - 2 & \text{si } -2 < x \le 2 \\ x^2 - (t + 3)x + 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

a)

¿Existe un valor de $t$ para el que la función $f(x)$ es continua en $x = -2$ y en $x = 2$? [0,75 puntos]

b)

Representa gráficamente la función $f(x)$ para $t = 3$. [0,75 puntos]

Sección 3 (3.5 puntos)

6. La altura, medida en metros, que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba viene expresada en función del tiempo por $H(x) = 20x - 2x^2$ con $x = \text{tiempo en segundos}$ y $0 \le x \le 10$.

a)

¿Qué altura habrá alcanzado la pelota a los 3 segundos? [0,5 puntos]

b)

¿En qué momentos la pelota se encuentra a 32 metros de altura? [0,5 puntos]

c)

¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento? [1 punto]