Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla-La Mancha 2021 · Ordinaria

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} x + 3 + t & \text{si } x \le 1 \\ (x - 3)^2 + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. En el siguiente problema de programación lineal maximiza la función $f(x, y) = 12x - 2y$ sujeta a las siguientes restricciones:

$$\begin{cases} x \ge y \\ x + y \ge 0 \\ x \le 3 \end{cases}$$

a)

Dibuja la región factible. (1 punto)

b)

Determina los vértices de la región factible. (0.25 puntos)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

c)

Indica el máximo del problema dado y su valor. (0.25 puntos)

(

,

)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} x + 3 + t & \text{si } x \le 1 \\ (x - 3)^2 + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

En un examen final de historia al que se presentan 120 alumnos se deja elegir entre 3 opciones (A, B o C). El número de personas que elige la opción A es el triple de número que resulta al sumar las opciones B y C. Hay el doble de personas que realizan la opción C que las que escogen B.

a)

Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos alumnos eligen cada opción.

Define $x$ como el número de alumnos de la opción A, $y$ de la opción B y $z$ de la opción C. Escribe cada ecuación:

b)

Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} x + 3 + t & \text{si } x \le 1 \\ (x - 3)^2 + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a)

¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x = 1$?

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} x + 3 + t & \text{si } x \le 1 \\ (x - 3)^2 + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

b)

Para $t = 0$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(1,+\infty)$.

c)

Para $t = 0$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(1,+\infty)$.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} x + 3 + t & \text{si } x \le 1 \\ (x - 3)^2 + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

La función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ tiene un punto de inflexión en $(-1, 6)$ y en el punto de abscisa $x = -2$ la pendiente de la recta tangente es $-4$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

En un municipio el $5\%$ de las personas está en un ERE. De las personas que están en un ERE, el $40\%$ pertenece al sector turístico. Del resto de las personas del municipio, se sabe que el $10\%$ de ellos pertenece al sector turístico.

a)

b)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

El tiempo de uso de móvil por día de los alumnos de un instituto sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 20$ minutos. Se eligió una muestra aleatoria de 36 alumnos y se observó que la media de tiempo usando el móvil para esa muestra era de 2 horas.

a)

b)

c)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

a)

Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x = 0$. [0.5 puntos]

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

b)

Para $t = -1$, representa gráficamente la función $f(x)$. (1 punto)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

4. Se localiza un compuesto nocivo en un río obteniéndose que su proporción durante cinco días consecutivos de análisis de muestras sigue la función: $N(x) = \frac{1}{100}(-4x^4 + 128x^2 + 54)$ con $x = \text{días}$ y $(1 \le x \le 5)$.

a)

¿Cuál es la proporción el tercer día? (0.25 puntos)

%

b)

Determina qué día se obtiene el máximo y qué día se obtiene el mínimo. (1 punto)

c)

¿A qué valor ascienden ambos? (0.75 puntos)

%

%

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

5. En una clase de un ciclo formativo de formación profesional hay 27 alumnos, 14 son de Albacete, 5 son de Cuenca y 8 de Toledo.

a)

Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas). (0.75 puntos)

b)

Si sorteamos 5 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 sean para alumnos de Toledo? (0.75 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

6. Se ha tomado una muestra aleatoria del contenido en gramos de azúcar de 10 latas de refresco de cola y ha resultado ser: $70$, $75$, $85$, $100$, $60$, $80$, $120$, $95$, $65$ y $90$. Suponiendo que el contenido en azúcar en gramos de una lata de refresco de cola se distribuye según una ley normal de desviación típica $\sigma = 10$ gramos, se pide:

a)

Halla el intervalo de confianza del $97\,\%$ para el contenido medio de azúcar en una lata de refresco de cola. (1 punto)

z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

(

,

)

b)

Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)

c)

¿Crees que la media poblacional $\mu$ del contenido en gramos de azúcar es de $90$ gramos con una probabilidad del $98.5\,\%$? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Bloque 2

5. Se realiza una encuesta a los habitantes de un pueblo (con respuestas SI, NO o NO SABE/NO CONTESTA) sobre la necesidad de construir otra piscina cubierta. Se pregunta a las $600$ personas mayores de edad que viven en el pueblo y los que dicen NO son la mitad de los que NO SABE/NO CONTESTA. Por estudios paralelos de fiabilidad se sabe que el $30\,\%$ del total de los que contestan SI o NO, mienten, y el total de estos últimos son $135$ personas:

a)

Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar qué cantidad de personas eligen cada respuesta. [1,5 puntos]

Define $x$ como las personas que responden SÍ, $y$ las que responden NO y $z$ las que responden NO SABE/NO CONTESTA.

b)

Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. [0,5 puntos]

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x - t)^2 & \text{si } x < 0 \\ -2 & \text{si } x = 0 \\ x^2 - 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

6. Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$:

a)

Comprueba que $(M \cdot N)^{-1} = N^{-1} \cdot M^{-1}$. [1 punto]

$(M \cdot N)^{-1} = N^{-1} \cdot M^{-1} =$

b)

Resuelve la ecuación $M \cdot X = N$. [0.5 puntos]

$X =$