Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla-La Mancha 2024 · Ordinaria

La evolución de la rentabilidad de un fondo de inversión a lo largo del tiempo, $x$ en años, viene definida por la función:

$$R(x) = \begin{cases} -(x + (t - 3))^2 + (t + 27) & \text{si } 0 \le x \le 3 \\ -\frac{1}{3}x^3 - tx^2 + 5x - 3 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

Una empresa de productos de papelería dispone de $270\text{ m}^2$ de cartón y de $432\text{ m}$ de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: tamaño folio y tamaño cuartilla. Para una del primer tipo se necesitan $0{,}20\text{ m}^2$ de cartón y $0{,}30\text{ m}$ de cinta de goma y se vende a $2{,}10\text{ €}$ la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan $0{,}15\text{ m}^2$ de cartón y $0{,}27\text{ m}$ de cinta de goma y se vende a $1{,}50\text{ €}$ la unidad.

a)

Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. [1,25 puntos]

b)

Determina cuántas carpetas de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo. [0,25 puntos]

€

La evolución de la rentabilidad de un fondo de inversión a lo largo del tiempo, $x$ en años, viene definida por la función:

$$R(x) = \begin{cases} -(x + (t - 3))^2 + (t + 27) & \text{si } 0 \le x \le 3 \\ -\frac{1}{3}x^3 - tx^2 + 5x - 3 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

En la fase nacional de la Olimpiada de Matemáticas Española se reparten un total de 36 medallas, divididas en oro, plata y bronce. El número de medallas de bronce triplica a las medallas de oro y sabemos que, si dos de las medallas de plata se pasaran a la categoría de bronce, entonces la cantidad de medallas de bronce duplicaría la cantidad de medallas de plata.

a)

Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de medallas de cada tipo se reparten. [0,75 puntos]

Siendo $x$ = medallas de oro, $y$ = medallas de plata, $z$ = medallas de bronce:

b)

Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. [0,75 puntos]

La evolución de la rentabilidad de un fondo de inversión a lo largo del tiempo, $x$ en años, viene definida por la función:

$$R(x) = \begin{cases} -(x + (t - 3))^2 + (t + 27) & \text{si } 0 \le x \le 3 \\ -\frac{1}{3}x^3 - tx^2 + 5x - 3 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

a)

¿Para qué valores de $t$ la rentabilidad del fondo, $R(x)$, es una función continua en $x = 3$? [0,5 puntos]

La evolución de la rentabilidad de un fondo de inversión a lo largo del tiempo, $x$ en años, viene definida por la función:

$$R(x) = \begin{cases} -(x + (t - 3))^2 + (t + 27) & \text{si } 0 \le x \le 3 \\ -\frac{1}{3}x^3 - tx^2 + 5x - 3 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

b)

Para $t = -2$, ¿cuándo se tiene la mayor rentabilidad en el fondo a partir del tercer año? (0.5 puntos)

años

c)

Para $t = -2$, determina en qué intervalos de tiempo la rentabilidad del fondo crece y en cuáles decrece a partir del tercer año. (0.5 puntos)

La evolución de la rentabilidad de un fondo de inversión a lo largo del tiempo, $x$ en años, viene definida por la función:

$$R(x) = \begin{cases} -(x + (t - 3))^2 + (t + 27) & \text{si } 0 \le x \le 3 \\ -\frac{1}{3}x^3 - tx^2 + 5x - 3 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

2. Dada la función $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx$, encuentra el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto $(-1,0)$ y la ecuación de la recta tangente a la función en $x = 0$ es $y = x$. (1.5 puntos)

a)

Elegido un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no use MacBook? (0.75 puntos)

b)

Si se sabe que un trabajador usa MacBook, ¿cuál es la probabilidad de que sea desarrollador? (0.75 puntos)

4. Un fabricante de microprocesadores ha tomado una muestra aleatoria de $144$ chips y ha medido el tiempo de ejecución de una operación, proporcionando una media de $142$ milisegundos. Si se sabe que el tiempo de ejecución de los chips sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 42$ milisegundos,

a)

Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de ejecución de los chips con un nivel de confianza del $94.64\,\%$. (1 punto)

z · 0.00 · 0.01 · 0.02 · 0.03 · 0.04 · 0.05 · 0.06 · 0.07 · 0.08 · 0.09

1.8 · 0.9641 · 0.9649 · 0.9656 · 0.9664 · 0.9671 · 0.9678 · 0.9686 · 0.9693 · 0.9699 · 0.9706

1.9 · 0.9713 · 0.9719 · 0.9726 · 0.9732 · 0.9738 · 0.9744 · 0.9750 · 0.9756 · 0.9761 · 0.9767

b)

Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del $94.12\,\%$, el error máximo admisible sea menor que $8$ milisegundos. (1 punto)

3. En una clase se celebran elecciones para delegada y se presentan dos candidatas, Inés y Nerea. Se sabe que cuatro veces el número de votos obtenido por Nerea menos tres veces el número de votos obtenidos por Inés excede al número de votos nulos en un voto. Si dividimos el número de votos obtenidos por Inés entre el número de los obtenidos por Nerea se obtiene de cociente 1 y de resto 7 (Algoritmo de la división: D=d·c+r). El $5\,\%$ del total de votos emitidos es nulo.

a)

Plantea el sistema de ecuaciones para calcular el número de votos nulos y los que recibieron Inés y Nerea. (0.75 puntos)

b)

Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)

4. Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\quad\text{y}\quad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

a)

Calcula, si es posible, $C + A \cdot B$ (0.75 puntos)

b)

¿Son iguales $C^{-1} + (A \cdot B)^{-1}$ y $(C + A \cdot B)^{-1}$? (1.25 puntos)

Sí

No

Sección 3 (3.5 puntos) Bloque 1

5. En un instituto el 64 % de los estudiantes aprueban Matemáticas, el 72 % aprueban Inglés y el 78 % aprueban Matemáticas o Inglés o ambas.

a)

¿Cuál es la probabilidad de suspender alguna de las dos asignaturas? [0.75 puntos]

b)

¿Son independientes los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Inglés? Justica la respuesta. [0.75 puntos]

seek

6. La edad de los usuarios de un juego online sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 4\text{ años}^2$. Se ha tomado una muestra de 10 usuarios y sus edades eran 16, 19, 21, 15, 14, 18, 20, 15, 14 y 18 años.

z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

a)

Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la edad de los usuarios con un nivel de confianza del $97\,\%$. [1 punto]

b)

Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con menor amplitud para el mismo nivel de confianza. [0.5 puntos]

c)

¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 81 y un nivel de confianza del $95.44\,\%$? [0.5 puntos]

5. Durante una tormenta, la altura, $A(x)$, que han alcanzado las olas del mar, en metros, se puede expresar con respecto al tiempo ($x$ en horas) mediante la función

$$A(x) = \begin{cases} -(2x + t)^2 + (11 + t) & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 8x + 19 + t & \text{si } 2 \le x \le 7 \end{cases}$$

a)

Halla los valores de $t$ para que la función de la altura de las olas sea continua en $x = 2$. [0.75 puntos]

$t_1 =$

$t_2 =$

b)

Representa gráficamente la función de la altura de las olas, $A(x)$, para el valor $t = -1$. [0.75 puntos]

6. La evolución del número de socios de un determinado club de fútbol desde el año de su fundación, 1965 ($t = 0$), hasta su desaparición en 2018 ($t = 53$) viene dada por la expresión $S(t) = -0.5\cdot(2t^3 - 34t^2 - 3968t - 60)$ donde $t$ se expresa en años.

a)

¿Cuántos socios tenía el club en el año del mundial en España, 1982? [0.5 puntos]

socios

b)

¿En qué momento de la existencia del club se alcanzan el máximo y mínimo número de socios? ¿Cuáles son los valores del máximo y mínimo número de socios? [1.5 puntos]