Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla-La Mancha 2025 · Ordinaria

Ejercicio 1.- Un centro de atención telefónica estima que el tiempo, en minutos, de atención a las llamadas que recibe se aproxima por una distribución normal con desviación típica $\sigma = 4$ minutos. Se toma una muestra de 36 llamadas y se observa que el tiempo medio de atención es de 15 minutos. Con un nivel de confianza del 97%,

z · 0.00 · 0.01 · 0.02 · 0.03 · 0.04 · 0.05 · 0.06 · 0.07 · 0.08 · 0.09

2.0 · 0.9772 · 0.9778 · 0.9783 · 0.9788 · 0.9793 · 0.9798 · 0.9803 · 0.9808 · 0.9812 · 0.9817

2.1 · 0.9821 · 0.9826 · 0.9830 · 0.9834 · 0.9838 · 0.9842 · 0.9846 · 0.9850 · 0.9854 · 0.9857

a)

Calcula el intervalo de confianza para el tiempo de atención medio poblacional. (1 punto)

b)

Explica, justificando la respuesta, cómo se podría obtener un intervalo de confianza con menor amplitud sin modificar el nivel de confianza. (0.75 puntos)

c)

Una asociación de consumidores afirma que el tiempo medio de atención a las llamadas es de 17 minutos. Dado el intervalo del apartado a), ¿se puede aceptar tal afirmación con un nivel de confianza del 95%? Justificar la respuesta. (0.75 puntos)

Lucía, en un examen de Historia que constaba de tres preguntas, ha obtenido una calificación total de 7,2 puntos. La puntuación obtenida en la primera pregunta fue un 40 % más que la obtenida en la segunda, y la puntuación del tercer enunciado fue el doble de la suma de las puntuaciones obtenidas en la primera y segunda pregunta. ¿Cuál fue la puntuación obtenida por Lucía en cada pregunta? (2.5 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 3x + 10 & \text{si } x \le k \\ x^2 - 4x + 9 & \text{si } x > k \end{cases}$$

a.1)

¿Para qué valores de $k$ la función $f(x)$ es continua en $x = k$?

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 3x + 10 & \text{si } x \le k \\ x^2 - 4x + 9 & \text{si } x > k \end{cases}$$

a.2)

Si $k = 1$, calcula los máximos y mínimos relativos de la función $f(x)$. (0.75 puntos)

a.3)

En ese mismo supuesto, determina en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente. (0.75 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 3x + 10 & \text{si } x \le k \\ x^2 - 4x + 9 & \text{si } x > k \end{cases}$$

Apartado b) Dada la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$, se sabe que tiene un mínimo relativo en el punto $(2,-3)$ y un punto de inflexión en $(1,-1)$.

b.1)

Encuentra el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$. (1.5 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 3x + 10 & \text{si } x \le k \\ x^2 - 4x + 9 & \text{si } x > k \end{cases}$$

b.2)

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, calcula la matriz $X$ en la ecuación matricial $A \cdot B \cdot X = C \cdot X + I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. (1 punto)

Introduce los elementos de la matriz $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$:

Ejercicio 4.- Elige y resuelve sólo uno de los dos apartados siguientes:

a.1)

Expresa la función objetivo; escribe, mediante inecuaciones, las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.

a.2)

Determina cuántos paquetes de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo.

Ejercicio 4.- Elige y resuelve sólo uno de los dos apartados siguientes:

b.1)

¿Cuál es la probabilidad de que un candidato pase la selección?

b.2)

¿Cuál es la probabilidad de que un candidato no sea seleccionado por haber fallado en una sola prueba?

b.3)

Sabiendo que un candidato no ha sido seleccionado por haber fallado en una sola prueba, ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado en la prueba B?

Ejercicio 4.- Elige y resuelve sólo uno de los dos apartados siguientes:

b.4)

Si la velocidad punta de la prueba física de carrera de 1000 m sigue una función de la forma: $V(t) = at^3 + bt^2 + t$, con $t$ en minutos, y sabemos que alcanza el máximo en el instante $t = 1$ alcanzando, en ese instante, una velocidad de $150\text{ m/min}$, encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$.