Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2023 · Ordinaria

Sea la siguiente función

$$f(x) = \begin{cases} a\,x - \frac{\operatorname{sen} x}{x} + 2, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}, \quad a \in \mathbb{R}$$

a)

(1 punto) Estudia su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$.

Sea la siguiente función

$$f(x) = \begin{cases} a\,x - \frac{\operatorname{sen} x}{x} + 2, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}, \quad a \in \mathbb{R}$$

b)

(1 punto) Calcula el valor de $a$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x = -\frac{\pi}{2}$ y di qué tipo de extremo es.

2) (2 puntos) Calcula el siguiente límite:

$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{(x+1)^2}{x^2 + 3x + 1} \right]^{\ln x}$$

3) (2 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 4x$ y la recta de pendiente $\frac{1}{2}$ que corta a $f(x)$ en $x = \frac{7}{2}$.

$x_1 =$

$x_2 =$

$\text{u}^2$

Dada la siguiente función:

$$f(x) = \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 - x - 2}}$$

a)

(0,75 puntos) Estudia y escribe su dominio de definición.

b)

(1,25 puntos) Estudia la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determina las asíntotas caso de existir.

Sean las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = A \cdot B^T - 2I,$$

donde $B^T$ es la matriz traspuesta de $B$, e $I$ es la matriz identidad de orden 3.

a)

(1 punto) Estudia si la matriz $D$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.

b)

(1 punto) Resuelve la ecuación matricial $C X = A^T \cdot B$, donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.

Dado el siguiente sistema:

$\begin{cases}

-x + mz = 0 \\

my + 2z = 2 + m^2 \\

x + y = 2m

\end{cases}$

a)

(1,2 puntos) Discute según los valores de $m \in \mathbb{R}$, qué tipo de sistema es atendiendo a las posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).

b)

(0,8 puntos) Resuelve el sistema para el valor $m = 2$.

Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

a)

[1 punto] Calcula la matriz $A^n$ para $n \in \mathbb{N}$.

b)

[1 punto] Resuelve la ecuación $(A + 2I)X = B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

El plano $\pi \equiv 2x + by - 2z + 4 = 0$, $b \in \mathbb{R}$ y $b \neq 0$, corta a los ejes de coordenadas en tres puntos $A$, $B$ y $C$. Calcula los valores de $b \in \mathbb{R}$ tal que el área del triángulo que determinan estos tres puntos $A$, $B$ y $C$ sea $6\text{ u}^2$.

Si los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente independientes,

a)

[1 punto] Comprueba si los vectores $\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\}$ son linealmente dependientes o independientes, siendo

$$\vec{r} = 2\vec{u} + \vec{w}, \quad \vec{s} = \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}, \quad \vec{t} = -3\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}.$$

Linealmente dependientes

Linealmente independientes

b)

[1 punto] Si además, los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son ortogonales y unitarios, calcula razonadamente $\vec{u} \cdot \vec{r} + \vec{v} \cdot \vec{s} + \vec{w} \cdot \vec{t}$, donde $\cdot$ representa el producto escalar de dos vectores.

El contenido total en sulfitos (medido en mg/l) del vino que se produce en una bodega, sigue una distribución normal de media $150\text{ mg/l}$ y desviación típica $30\text{ mg/l}$. La bodega se compromete a vender solamente vinos con un contenido total en sulfitos inferior a $200\text{ mg/l}$, por lo que se desechan para la venta aquellos que superen esta cantidad. Se pide,

a)

[1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos?

b)

[1 punto] ¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre 110 y 150 mg/l?

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