Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2022 · Ordinaria

Dada la siguiente función:

$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} + e^3, & x \le 0 \\ (1 - x)^{a/x}, & x > 0 \end{cases} \quad a \in \mathbb{R}$$

a)

(1 punto) Determina los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$.

Dada la siguiente función:

$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} + e^3, & x \le 0 \\ (1 - x)^{a/x}, & x > 0 \end{cases} \quad a \in \mathbb{R}$$

b)

(1 punto) Calcula, para $a = 1$, la recta tangente a la función en $x = -4$.

2) Calcula el siguiente límite:

$$\lim_{x \to +\infty} [\sqrt{3x^2 - 2} - (\sqrt{3}x + 5)]$$

3) Calcula:

$$\int e^{-x} (x^2 - 1) dx$$

Para la siguiente función:

$$f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2}$$

a)

Obtén el dominio de definición y estudia su crecimiento y decrecimiento.

b)

Analiza la curvatura (concavidad = $\cap$ y convexidad = $\cup$) y existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtén los puntos de inflexión caso de existir.

Dada la siguiente matriz:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Resuelve la ecuación matricial $AX - 2I = A^2$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

b)

Analiza el rango de la matriz $A - mB$, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, siendo $A$ la matriz del apartado anterior y

$$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

a)

Sabiendo que

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c \end{vmatrix} = -2$$

calcula justificadamente

$$\begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ x/2 & z/2 & y/2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}$$

b)

Comprueba que la matriz $B$ es invertible y calcula su inversa, siendo

$$B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$

Dado el siguiente sistema:

$\begin{cases}

-x + 3y + z = 5 \\

2x + az = -4 \\

4x - 3z = a + 1

\end{cases}$

a)

[1 punto] Discute según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).

b)

[1 punto] Resuelve el sistema para $a=1$.

$x =$

$y =$

$z =$

$$r_1 \equiv \frac{x}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{1} \qquad \text{y} \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x = -1 + 6t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}$$

a)

[1 punto] Escribe la ecuación del plano que contiene a las rectas $r_1$ y $r_2$, y además pasa por el punto $(-1, 2, 1)$.

$$r_1 \equiv \frac{x}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{1} \qquad \text{y} \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x = -1 + 6t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}$$

b)

[1 punto] Dado el vector $\vec{v} = (2, k, 2k)$, calcula el valor $k \in \mathbb{R}$ para que $\vec{v}$ y los vectores directores de las rectas $r_1$ y $r_2$ sean linealmente dependientes.

$k =$

a)

[1 punto] Dados los siguientes vectores: $\vec{v}_1 = a\,\vec{u}_1 - 2\,\vec{u}_2 + 3\,\vec{u}_3$, $\vec{v}_2 = -\vec{u}_1 + a\,\vec{u}_2 + \vec{u}_3$, determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ sean ortogonales, sabiendo que los vectores $\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}$ son ortogonales y de módulo igual a 1.

$a =$

b)

[1 punto] Calcula el volumen del tetraedro formado por los vectores $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ y $\vec{v}_3 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$ siendo $\vec{v}_1 = (1, 0, -2)$ y $\vec{v}_2 = (3, 1, 0)$.

$V =$

10) El peso de los recién nacidos de una localidad, sigue una distribución normal de media $3300$ gramos y desviación típica $465$ gramos. Un recién nacido tiene bajo peso si su peso es inferior a $2500$ gramos.

a)

[1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga bajo peso?

b)

[1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga un peso entre $3500$ y $4000$ gramos?