Examen de Matemáticas II PAU Aragón 2026 · Ordinaria

1. En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos A, B y C. La población de cada especie en el mes $k$ viene dada por $a_k$, $b_k$ y $c_k$, respectivamente. La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes $k+1$ y en el mes anterior, $k$:

$$\begin{pmatrix} a_{k+1} \\ b_{k+1} \\ c_{k+1} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a_k \\ b_k \\ c_k \end{pmatrix} \quad \text{con } M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

a)

(0,5 puntos) Si en el instante inicial ($k = 0$) hay 100 ejemplares de la especie A, 124 de la especie B y 234 de la especie C, ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después?

b)

(0,5 puntos) Razona (sin calcular $M^k$) que se cumple la siguiente relación:

$$\begin{pmatrix} a_k \\ b_k \\ c_k \end{pmatrix} = M^k \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \\ c_0 \end{pmatrix},$$

donde $a_0$, $b_0$ y $c_0$ son el número de ejemplares de cada especie en el instante inicial.

c)

(1 punto) Calcula $M^k$ con $k \in \mathbb{N}$. ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo?

2. Sea $f(x)$ una función continua definida en $[0, +\infty)$ tal que $f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}, \ \forall x > 0$, y $f(1) = 2e - 2$.

a)

(1 punto) Calcula $f(x)$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.

b)

(1 punto) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$. Justifica que $f(x) \ge 0, \ \forall x \ge 0$.

3. Sean los planos $\pi \equiv x - 2y + 4z + 1 = 0$ y $\pi_d \equiv 2x - 3y + 6z = d$, con $d \in \mathbb{R}$.

a)

(1 punto) ¿Hay algún valor de $d \in \mathbb{R}$ para el cual los planos $\pi$ y $\pi_d$ no se corten? Justifica tu respuesta.

b)

(1 punto) Calcula, para $d = -2$, los puntos de corte entre los planos $\pi$ y $\pi_d$.

4.1 Para una prueba de Bachillerato se ha preparado un cuestionario tipo test de 4 preguntas con 5 respuestas posibles a cada pregunta. Cada pregunta correctamente respondida suma 2,5 puntos. Por cada respuesta incorrecta se restan 0,625 puntos. Si no se contesta a la pregunta, se puntúa con 0.

a)

(1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de sacar sobresaliente (nota mayor o igual a 9) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente?

b)

(1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de suspender (nota menor que 5) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente?

4.2 En un hospital se realizan dos técnicas diferentes de intervención para una misma lesión. Se muestra en la siguiente tabla el número de intervenciones realizadas en los últimos años clasificadas por tipo de técnica y gravedad de la lesión antes de la intervención:

Nº intervenciones

Técnica 1

Técnica 2

Graves

44

140

Leves

136

40

En la tabla siguiente se muestra el número de intervenciones que fueron efectivas ante la lesión:

Nº intervenciones efectivas

Técnica 1

Técnica 2

Graves

30

102

Leves

120

36

a)

(0,5 puntos) Se elige al azar el expediente de una intervención realizada en el hospital para esta lesión. Sabiendo que la intervención ha sido efectiva, ¿cuál de las dos técnicas es más probable que se haya usado?

A

Técnica 1

B

Técnica 2

b)

(1 punto) Con los datos anteriores, un cirujano del hospital quiere elegir la técnica que le proporcione mayor probabilidad de éxito. ¿Qué técnica elegirá para una lesión leve?, ¿y para una lesión grave?

A

Técnica 1

B

Técnica 2

A

Técnica 1

B

Técnica 2

c)

(0,5 puntos) El protocolo del hospital cuando se desconoce la gravedad de la lesión es aplicar la técnica 1. Justifica por qué este protocolo no es el más adecuado.

5.1 (2 puntos) En un archivo de la universidad se están digitalizando los expedientes allí almacenados. La universidad dispone de 70 archiveros que pueden realizar el trabajo y de un número limitado de equipos informáticos. Inicialmente se crea un equipo de trabajo con 50 archiveros. Se ha observado que cada uno de los integrantes de ese equipo digitaliza 80 expedientes mensualmente y que por cada archivero más que se añada al equipo, se reduce en uno los expedientes que digitaliza cada archivero al mes. Determina el número de archiveros que deben formar el equipo para que el número de expedientes digitalizados al mes sea máximo.

5.2 (2 puntos) Calcula $$\lim_{x\to 0}\frac{e^{\operatorname{sen}(x)}-e^x}{1-\cos(x)}$$