Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2025 · Ordinaria Suplente 1

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - 1)e^x$.

a) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de inflexión.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - 1)e^x$.

b) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la función.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - 1)^2$.

a)

[0,75 puntos] Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = a$ con $a > 0$.

b)

[1,75 puntos] Calcula $a > 0$ para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = a$ sea $\frac{4}{3}$ unidades cuadradas.

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Considera la función

$$f(x) = \begin{cases} x \operatorname{sen}(2x) & \text{si } x \le 0 \\ \cos(\pi x) - 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Calcula $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^1 f(x)\, dx$.

Sean los puntos $A(3, -1, 1)$, $B(1, 3, -3)$ y $C(-2, -2, 1)$.

a)

[1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.

b)

[1,5 puntos] Halla los puntos $D$ pertenecientes al eje $OZ$ para que el tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$ tenga un volumen de 20 unidades cúbicas.

Indica los dos valores posibles de la coordenada $z$ para el punto $D(0, 0, z)$ (el orden es indistinto):

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera el plano $\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0$.

a)

[1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de $P(1, 0, 1)$ respecto de $\pi$.

$x =$

$y =$

$z =$

b)

[1 punto] Calcula los planos paralelos a $\pi$ y que disten 2 unidades de $\pi$.

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha + 4 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha + 4 & \alpha \end{pmatrix}$$.

a)

[1 punto] Indica para qué valores de $\alpha$ la matriz $A$ admite inversa. Escribe los valores de $\alpha$ que anulan el determinante en orden creciente ($\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3$):

b)

[1,5 puntos] Para $\alpha = 1$ determina, si es posible, la matriz inversa de $A$, $A^{-1}$:

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media $13\text{ mm}$ y desviación típica $0,1\text{ mm}$. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre $12,9\text{ mm}$ y $13,15\text{ mm}$. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media $12,9\text{ mm}$ y desviación típica $0,2\text{ mm}$.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN $N(0, 1)$

a)

[1,25 puntos] En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

b)

[1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?