Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2026 · Ordinaria Suplente 1

La producción de gas en una refinería, medida en metros cúbicos, viene dada por la función $f(t) = 7 + e^{-(t-4)^2}$, donde $t$ representa el tiempo medido en segundos.

a)

[2 puntos] Razona que la producción de gas varía siempre entre 7 y 8 metros cúbicos. ¿Se producen 7 metros cúbicos de gas en algún momento concreto?

b)

[0,5 puntos] Justifica que la producción de gas se estabiliza con el paso del tiempo.

Considera los puntos $P(4,-2,3)$ y $Q(6,2,1)$.

a)

[1 punto] Halla la ecuación del plano respecto del cual los puntos $P$ y $Q$ son simétricos.

b)

[1,5 puntos] Determina el ángulo formado por el plano $2x + y + z - 5 = 0$ y la recta que une $P$ y $Q$.

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por

$$f(x) = \begin{cases} 2|x^2 - 1| & \text{si } x \le \frac{1}{2} \\ ax^2 + bx & \text{si } x > \frac{1}{2} \end{cases}$$

es derivable en $x = \frac{1}{2}$. Determina $a$ y $b$.

Considera la función $f: [-2, 2] \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{x}{|x| + 1}$.

a)

[1,5 puntos] Calcula $\int_0^2 f(x)\,dx$.

b)

[1 punto] Estudia la simetría de la función $f$ y deduce de ella el valor de $\int_{-2}^2 f(x)\,dx$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$, calcula la matriz $X$ que satisface

$$X - 2C = B^t + XA$$

$x_{11} =$

$x_{12} =$

$x_{13} =$

Los 120 estudiantes de segundo de Bachillerato de un centro se distribuyen por clases como se indica en la tabla:

Cursan inglés

Cursan francés

Número de estudiantes

Clase A

30

10

40

Clase B

15

20

35

Clase C

20

5

25

Clase D

20

0

20

Se elige un estudiante al azar y se pide:

a)

[1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante elegido esté en la clase A o haya cursado francés?

b)

[1,25 puntos] Si el estudiante elegido cursaba inglés, ¿cuál es la probabilidad de que esté en la clase C?