Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2025 · Ordinaria Suplente 2

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea $f: [0, 2] \to \mathbb{R}$ la función definida por

$$f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 2x - 1 - e & \text{si } 1 \le x \le 2 \end{cases}$$

a)

[1 punto] Estudia la derivabilidad de $f$.

b)

[1,5 puntos] Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Calcula $$\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx.$$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = x^2 - 3$).

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Sean las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = x^3 - x$ y $g(x) = -x^2 + 1$.

a)

[1 punto] Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de $f$ y $g$. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

$x_1 =$

$y_1 = f(x_1) =$

$x_2 =$

$y_2 = f(x_2) =$

b)

[1,5 puntos] Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de $f$ y $g$.

$u^2$

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$.

a)

[1,5 puntos] Comprueba que $A^3 + I = O$, siendo $I$ la matriz identidad y $O$ la matriz nula. Calcula $A^{-1}$.

b)

[1 punto] Calcula $A^{2025}$.

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = 1$, calcula razonadamente:

a)

[1,5 puntos] $$\begin{vmatrix} a+x & b+y & c+z \\ a & b & c \\ 2a+u & 2b+v & 2c+w \end{vmatrix}$$

b)

[1 punto] $$\begin{vmatrix} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{vmatrix}$$

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera el plano $\pi \equiv x + y + z + 1 = 0$ y los puntos $A(1, 2, 0)$ y $B(3, 1, 0)$.

a)

[1,5 puntos] Calcula el punto simétrico del punto $A$ con respecto al plano $\pi$.

$A' = ($

$,$

$,$

$)$

b)

[1 punto] Halla el plano que contiene a los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $\pi$.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de $29\%$, $51\%$ y $20\%$. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes $18\%$, $31\%$ y $11\%$, respectivamente.

a)

[0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?

b)

[1,75 puntos] Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?