Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2025 · Extraordinaria Suplente 1

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Considera las rectas $r \equiv \dfrac{x}{1} = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z - k}{2}$ y $s \equiv \dfrac{x + 2}{-1} = \dfrac{y + 3}{2} = \dfrac{z - 1}{1}$.

a)

[1,5 puntos] Determina $k$ sabiendo que ambas se cortan en un punto.

b)

[1 punto] Para $k = 0$, halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas $(2, 0)$ de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x + 1}$. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

a)

b)

c)

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Sea la función $f: (-1, 1) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{1 + |x|}{1 - |x|}$.

a)

[1,5 puntos] Estudia la derivabilidad de $f$.

b)

[1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Se considera la matriz $M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ con determinante igual a $-5$.

a)

[1,25 puntos] Calcula

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix}$$

b)

[1,25 puntos] Calcula

$$\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}$$

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

a)

[1,5 puntos] Determina $a$ y $b$ para que $A^2 = 4I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

b)

[1 punto] Para $a = -1$ y $b = 1$, calcula, si es posible, la matriz $X$ que cumple $A^2 X = B^t$.

Introduce los elementos de la matriz $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \end{pmatrix}$:

Fila 1

Fila 2

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = -e^x$ y $g(x) = -e^{-x}$.

a)

[1 punto] Esboza las gráficas de dichas funciones.

b)

[1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media $200$ gramos y desviación típica desconocida.

a)

[1,25 puntos] Si el $33\,\%$ de las manzanas pesan más de $230$ gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.

gramos

b)

[1,25 puntos] Si la desviación típica es de $50$ gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre $160$ y $220$ gramos.

%

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN $N(0, 1)$

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria $Z$, con distribución $N(0, 1)$, esté por debajo del valor $z$.