Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2025 · Extraordinaria Suplente 2

BLOQUE OBLIGATORIO. Resuelve el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$. Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$.

$F(x) =$

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Considera la función $f: (-1, 1) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{1}{(1 - |x|)^2}$.

a)

[1,25 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de la función $f$.

b)

[1,25 puntos] Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Sean las funciones $f: (-1, 0) \cup (0, 1) \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{e}\right)$ y $g(x) = x^3 + 2$.

a)

[1,5 puntos] Calcula $a \ne 0$ de forma que en el punto $(a, f(a))$ la recta normal a la gráfica de la función $f$ sea paralela a la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto $(a, g(a))$.

b)

[1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$.

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$.

a)

[1,25 puntos] Calcula $A^4$ y $A^{31}$.

$\begin{pmatrix}

\text{\underline{\quad}} & \text{\underline{\quad}} \\

\text{\underline{\quad}} & \text{\underline{\quad}}

\end{pmatrix}$

b)

[1,25 puntos] Halla razonadamente el determinante de la matriz $4A^{25}(A^t)^4$.

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

a)

[1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz $X$ que verifica $X^3 A X^2 = B^2$.

b)

[1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz $Y$ que verifique $A^3 Y B^{-1} = A^2$.

$y_{11} =$

$y_{12} =$

$y_{21} =$

$y_{22} =$

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$$ y el punto $P(2, 1, 0)$.

a)

[1,25 puntos] Halla la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

b)

[1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y al punto $P$.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del $20\%$, $50\%$ y $30\%$. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del $7\%$, $6\%$ y $2\%$, respectivamente.

a)

[1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?

b)

[1,5 puntos] Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?