Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2022 · Ordinaria Titular

Considera la función continua $f$ definida por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x < -1 \\[2ex] ax + b & \text{si } -1 \leq x < 1 \\[2ex] \dfrac{x^2}{x + 1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

a)

Calcula a y b. [1 punto]

Considera la función continua $f$ definida por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x < -1 \\[2ex] ax + b & \text{si } -1 \leq x < 1 \\[2ex] \dfrac{x^2}{x + 1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

b) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. [1,5 puntos]

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = 4 - \dfrac{x^2}{3}$ y $g(x) = \dfrac{x^2}{6} - 2$.

Sea $f$ la función definida por $$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 0 \\ (x - 2)^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función. [1 punto]

EJERCICIO 3

Sea $f$ la función definida por $$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 0 \\ (x - 2)^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

b)

Halla el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y por el eje de abscisas. [1,5 puntos]

EJERCICIO 4

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 2x + 1}$ para $x \neq 1$. Halla una primitiva de $f$ que pase por el punto $(2, 6)$. [2,5 puntos]

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Considera el sistema:

$$\begin{cases} x - y + mz = -3 \\ -mx + 3y - z = 1 \\ x - 4y + mz = -6 \end{cases}$$

a)

Discute el sistema según los valores de $m$. (1,75 puntos)

b)

Para $m = 2$ resuelve el sistema, si es posible. (0,75 puntos)

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m & 1 \\ \sqrt{m} & 1 & m \end{pmatrix}$, donde $m \ge 0$.

a)

¿Para qué valores de $m$ tiene inversa la matriz $A$? [1 punto]

b)

Para $m = 4$ resuelve, si es posible, la ecuación matricial $AX = 12I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]

EJERCICIO 7. (2,5 puntos)

Se consideran los vectores $\vec{u} = (-1, 2, 3)$ y $\vec{v} = (2, 0, -1)$, así como el punto $A(-4, 4, 7)$.

a)

Calcula $a$ y $b$ para que el vector $\vec{w} = (1, a, b)$ sea ortogonal a $\vec{u}$ y $\vec{v}$. (0,75 puntos)

b)

Determina los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, y que tiene al vector $\vec{OA}$ como una de sus diagonales, siendo $O$ el origen de coordenadas. (1,75 puntos)

EJERCICIO 8. (2,5 puntos)

Considera la recta $r \equiv x - 2 = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z - 1}{2}$, así como la recta $s$ determinada por el punto $P(1, 2, 3)$ y el vector director $\vec{v} = (1 + a, -a, 3a)$.

a)

Calcula $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten. (1,5 puntos)

b)

Calcula $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean perpendiculares. (1 punto)