Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2026 · Ordinaria Titular

Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 8 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz.

Considera los puntos $A(1, 2, 0)$, $B(2, m, 1)$, $C(3, 4, 2)$ y $D(1, -1, m)$.

a)

[1 punto] Halla los valores de $m$ para los cuales los puntos anteriores son coplanarios.

$m_1 =$

$m_2 =$

b)

[1,5 puntos] Para $m = 1$, calcula el área del triángulo de vértices $A, B, C$ y el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C, D$.

$\text{u}^2$

$\text{u}^3$

EJERCICIO 3.1 [2,5 puntos]

Considera el sistema

$\begin{cases}

3x - y = a^2 \\

(1 - a)y + 2z = 0 \\

4y + (3 - a)z = a - 5

\end{cases}$

a)

[1,75 puntos] Discútelo según los valores de $a$.

b)

[0,75 puntos] Para $a = 0$ resuelve el sistema, si es posible.

EJERCICIO 3.2 (2,5 puntos)

Considera la matriz$$A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 1 \\ 2 & \alpha & \beta \\ 3 & 4 & \alpha \end{pmatrix} \text{ que cumple } |A| = -2.$$

a)

[1,5 puntos] Calcula$$\begin{vmatrix} -3 & -4 & -\alpha \\ \alpha - 2 & \beta - \alpha & 1 - \beta \\ 8 & 4\alpha & 4\beta \end{vmatrix}$$

b)

[1 punto] Calcula $|A^{-1} (A^t)^2 A|$

EJERCICIO 4.1 (2,5 puntos)

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{8e^x - 4e^{2x}}{1 + e^x}$, halla la primitiva de $f$ cuya gráfica tiene por tangente a la recta $y = 2x + 12\ln(2)$ en el punto de abscisa $x = 0$. (Sugerencia: puedes hacer el cambio $e^x = t$).

EJERCICIO 4.2 (2,5 puntos)

Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay 2 monedas de oro y 3 monedas de plata. En la segunda hay 6 monedas de oro y 3 de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

a)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.

b)

[1,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.