Examen de Matemáticas UDG 2016 · Juny

Pregunta 1 [1 punt]. Àrea d'un triangle al pla

Es consideren els vèrtexs $P = (2, 10)$, $Q = (-8, 12)$ i $R = (30, -5)$ situats en el pla cartesià. Quina és la superfície del triangle $PQR$?

Pregunta 2 [1 punt]. Inversa d'una matriu d'ordre 2

Trobeu la matriu inversa de $A = \begin{pmatrix} 3 & -3/2 \\ -8 & 4 \end{pmatrix}$:

Pregunta 3 (1 punt). Propietats de la traça i el determinant

Sigui $A$ una matriu quadrada de mida $3 \times 3$ que compleix $\operatorname{tr}(A) = 2$ i $\det(A) = -6$. Emprant les propietats de la traça i del determinant respecte dels valors propis, quina de les següents afirmacions és CERTA?

Pregunta 4 (1 punt). Valors propis d'una matriu 3×3

Determineu els valors propis de la matriu:

$$\begin{pmatrix} 5 & 3 & -3 \\ -5 & -7 & 7 \\ -5 & -9 & 9 \end{pmatrix}$$

Pregunta 5 (1 punt). Potència d'una matriu d'ordre 2

Fent ús de la diagonalització de matrius $A^t = V \cdot D^t \cdot V^{-1}$ per a $t \ge 0$, calculeu:

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}^{30}$$

Pregunta 6 (1 punt). Model de Markov de població metropolitana

La població d'una àrea metropolitana es divideix en dues zones: la ciutat i els suburbis. Cada any, el 5% dels residents de la ciutat es trasllada als suburbis, mentre que el 3% dels residents dels suburbis es trasllada a la ciutat. Escriviu la matriu de transició de Markov i determineu la distribució demogràfica a llarg termini.

Pregunta 7 (1 punt). Model de Leslie de conills de Fibonacci

Es considera el model matricial de Leslie associat a la successió de Fibonacci:

$$\begin{pmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \end{pmatrix}$$

A llarg termini, quina serà la raó entre parelles de conills joves $x_t$ i conills adults $y_t$?

Pregunta 8 (1 punt). Taxa de creixement asimptòtic en model de Leslie per classes de mida

Es planteja una extensió del model de Leslie per a una població classificada en 3 intervals de grandària:

$$\begin{pmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \\ z_{t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.15 + p_1 & 1.7 & 2 \\ 0.2 & p_2 & 0 \\ 0 & 0.7 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \\ z_t \end{pmatrix}$$

on $p_1, p_2$ indiquen les probabilitats de persistència dins del mateix grup de mida durant un període. Si $p_1 = 0.15$ i $p_2 = 0.1$, comproveu quin dels valors següents representa la taxa de creixement asimptòtic $\lambda_1$ de la població:

Pregunta 9 (1 punt). Dinàmica de poblacions i distribució estable

Donat el model poblacional discret:

$$\begin{pmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \end{pmatrix}, \quad t \ge 0, \quad \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 100 \end{pmatrix}$$

Calculeu la diferència entre el vector normalitzat de població a la generació 2 $\left(\frac{1}{N_2}\vec{x}_2, \text{ on } N_2 = x_2 + y_2\right)$ i el vector de distribució estable $\frac{1}{v_1+v_2}\vec{v}$.

Pregunta 10 (1 punt). Propietats de la inversa d'una matriu de Markov

Calculeu la matriu inversa de la matriu de Markov:$$M = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.6 \\ 0.8 & 0.4 \end{pmatrix}$$i assenyaleu quina de les asseveracions següents és FALSA:

Pregunta 11 (1 punt). Creixement logístic d'un cultiu microbià

Un cultiu microbià té inicialment una densitat de 120 milions de bacteris per ml. Per limitació de nutrients, la dinàmica segueix un model logístic expressat per:$$x(t) = \frac{1200}{1 + 9 \cdot 2^{-t/45}}$$on $t$ és el temps en minuts. Quant de temps ha de transcórrer perquè la població es tripliqui respecte del seu valor inicial?

Pregunta 12 (1 punt). Optimització de la despesa energètica en aus migratòries

L'energia que consumeix una au per cada quilòmetre recorregut en vol es pot modelitzar mitjançant:$$E(v) = \frac{950}{v^2} + \frac{v^2}{870}$$essent $v > 0$ la velocitat de vol en km/h. Trobeu la velocitat que fa mínima la despesa energètica i calculeu el valor d'aquesta despesa mínima.

Pregunta 13 (1 punt). Relació al·lomètrica de creixement longitud-pes

En moltes espècies animals, la relació entre la longitud $L$ (en cm) i la massa corporal $P$ (en g) segueix una llei al·lomètrica $P = aL^b$ amb paràmetres $a = 2382.24$ i $b = 0.08$. Si en un instant determinat un exemplar mesura 40 cm i creix a un ritme de 10 cm/any, quin és el seu pes i a quina velocitat augmenta la seva massa ($\frac{dP}{dt}$ en g/any)?

Pregunta 14 (1 punt). Problema de valor inicial

Considereu el problema de valor inicial següent:

$$\frac{dx}{dt} = 0.2x - 120, \quad x(0) = 1000$$

Si la solució és de la forma $x(t) = A + Be^{0.2t}$ amb $A, B > 0$, determineu els valors de les constants $A$ i $B$.

Pregunta 15 (1 punt). Desintegració radioactiva de iode-131

Una fuita radioactiva de iode-131 (amb un període de semidesintegració de 8 dies) sobrepassa en 100 vegades el nivell màxim permès de seguretat. Suposant que no es produeixen noves emissions i regint-se pel model de desintegració $x' = -kx$ ($k > 0$), quants dies han de passar perquè la central recuperi els nivells admissibles de seguretat?

Pregunta 16 (1 punt). Punts d'equilibri i estabilitat d'una EDO autònoma

Considereu l'equació diferencial $x' = \frac{1}{2}(1 - x)^2 - kx$ amb $k > 0$. Trobeu els punts d'equilibri i determineu la seva estabilitat per al cas $k = 2$.

Pregunta 17 (1 punt). Llei de refredament de Newton

Un matràs s'escalfa fins a una temperatura de 47 °C i tot seguit s'introdueix en una nevera mantinguda a 4 °C. Sabent que el líquid es refreda fins a 30 °C en 15 minuts, quant de temps trigarà en total a refredar-se fins a assolir els 6 °C?

.

Pregunta 18 (1 punt). Dinàmica de mescles amb entrada d'aigua pura

Un tanc conté inicialment 1000 litres d'aigua amb 250 grams de sal dissolta. S'hi injecta un cabal constant de 3 litres per minut d'aigua pura i surt de la barreja homogènia un cabal idèntic de 3 litres per minut. Quina quantitat de sal restarà al tanc en transcórrer 5 hores?

.

Pregunta 19 (1 punt). Dinàmica de mescles amb solució entrant

Un dipòsit conté inicialment 1000 litres d'aigua amb 250 grams de sal dissolta. Hi entra una solució salina amb una concentració de 0.1 g/l a raó de 3 litres per minut, i en surt solució ben barrejada al mateix cabal de 3 litres per minut. Quina quantitat de sal hi haurà al dipòsit passades 4 hores?

.

Pregunta 20 (1 punt). Model poblacional amb taxa de creixement variable

Es considera un model malthusià de creixement poblacional:

$$\frac{dx}{dt} = r(t)x(t), \quad x(0) = 100$$ on la taxa de creixement per càpita varia en el temps segons $r(t) = -1 + 3e^{-t}$ (amb el temps $t$ mesurat en hores). Resoleu el problema de valor inicial i determineu en quin instant la grandària poblacional assoleix el seu màxim.

.