Examen de Matemáticas UDG 2016 · final de Matemàtiques (PA2) - Desembre 2016

Pregunta 1 (1 punt). Model de Leslie i comportament a llarg termini

La dinàmica d'una població estructurada en 3 classes d'edat es descriu mitjançant la matriu de Leslie següent:

$$L = \begin{pmatrix} 0.6 & 1.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0.8 & 0.5 \end{pmatrix}$$

A partir del càlcul del nombre reproductiu bàsic $R_0$ o del valor propi dominant $\lambda_1$, quin serà el comportament d'aquesta població a llarg termini?

Pregunta 2 (1 punt). Cadena de Màrkov i proporció d'estat estacionari

L'evolució d'una població dividida en dos subgrups es modelitza amb una cadena de Màrkov amb matriu de transició:

$$P = \begin{pmatrix} 0.25 & r \\ 0.75 & 1-r \end{pmatrix}$$

on $r$ denota la probabilitat de transició del segon grup al primer en cada pas temporal. Quin valor ha de tenir el paràmetre $r$ perquè, en l'estat d'equilibri a llarg termini, la raó entre individus del primer grup i del segon grup sigui exactament de 2 a 4?

Pregunta 3 (1 punt). Taxa asimptòtica de creixement d'un model de Leslie de dues edats

Considereu el model de Leslie per a una població estructurada en individus joves inmadurs ($x_t$) i adults madurs ($y_t$):

$$\begin{pmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & f_2 \\ s_1 & p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \end{pmatrix}$$

on $t \ge 0$ representa el temps, $f_2 > 0$ és la fertilitat dels adults, i $0 < s_1, p < 1$ són les probabilitats de supervivència dels joves i adults, respectivament. Si $N_t = x_t + y_t$ és el cens total, quina és la taxa de creixement asimptòtica de la població?

a

$\frac{N_{t+1}}{N_t} \rightarrow \lambda = \frac{p}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 + f_2 s_1} < 0$

b

$\frac{N_{t+1}}{N_t} \rightarrow \lambda = \frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 + f_2 s_1} > 0$

c

$\frac{N_{t+1}}{N_t} \rightarrow \lambda = 1$

d

No es pot determinar.

Pregunta 4 (1 punt). Distribució d'equilibri d'opinions

Es recullen dades sobre la valoració que fa l'alumnat respecte a dos docents, el Dr. Smith i el Dr. Brown. En les consultes mensuals, cada estudiant tria el seu docent preferit. S'ha constatat que, cada mes, la probabilitat de mantenir o canviar de preferència és completament simètrica entre ambdós professors (la taxa de fidelitat i la de transició són idèntiques en tots dos sentits). A llarg termini, quina serà la distribució de popularitat?

a

Smith: Brown = 60%: 40%

b

Smith: Brown = 40%: 60%

c

Smith: Brown = 99%: 1%

d

Smith: Brown = 50%: 50%

Pregunta 5 (1 punt). Volum d'un tetraedre a l'espai

Calculeu el volum del tetraedre determinat pels quatre vèrtexs $P = (-1, 0, -3)$, $Q = (1, -2, -1)$, $R = (8, 1, 4)$ i $S = (3, 8, 1)$ a l'espai tridimensional.

Pregunta 6 (1 punt). Matriu i vectors propis associats

Sigui la matriu $A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. Se sap que $\vec{v}_1 = (4, 2)$ és un vector propi associat al valor propi $\lambda_1 = 1$, mentre que $\vec{v}_2 = (2, -4)$ és un vector propi associat a $\lambda_2 = 0$. Quant val l'expressió $a - b - c + d$?

a

$a + b + c + d = 8/5$

b

$a - b - c + d = 1/5$

c

$a + b + c - d = 6/5$

d

Cap de les anteriors.

Pregunta 7 (1 punt). Polinomi característic d'una matriu 3×3

Donada la matriu:$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$si la seva equació característica és $-\lambda^3 + 5\lambda^2 - D\lambda + 3 = 0$, quin és el valor del paràmetre $D$?

a

$D = 1$

b

$D = 7$

c

$D = 8$

d

Cap de les anteriors.

Pregunta 8 (1 punt). Potència d'una matriu diagonalitzable

Fent ús de la fórmula per a les potències d'una matriu, $A^k = V D^k V^{-1}$, calculeu:$$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}^{50}$$

a

$\begin{pmatrix} 3^{50} & 0 \\ 0 & 3^{50} \end{pmatrix}$

b

$\begin{pmatrix} 3^{50} & 0 \\ 6^{50} & 3^{50} \end{pmatrix}$

c

$\begin{pmatrix} 3^{50} & -6^{50} \\ 0 & 3^{50} \end{pmatrix}$

d

$\begin{pmatrix} 3^{50} & 1/6 \\ 1/6 & 3^{50} \end{pmatrix}$

Pregunta 9 (1 punt). Traça del producte de matrius conjugades

Siguin les matrius $A = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$. Quant val la traça del producte $B \cdot A \cdot B^{-1}$?

.

Pregunta 10 (1 punt). Model de Leslie de Fibonacci

Considereu el model de Leslie corresponent a la successió de Fibonacci:

$$\begin{pmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

on $t \ge 0$ és el temps en mesos, $x_t$ són les parelles de conills de menys d'un mes i $y_t$ les parelles de més d'un mes. Quina de les afirmacions següents és FALSA ?

.