Examen de Matemáticas UDG 2017 · Juny

Pregunta 1 (1 punt). Valors propis matriu 3×3

Determineu quins són els valors propis de la següent matriu:$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Pregunta 2 (1 punt). Potència de matriu 2×2

Emprant la descomposició espectral per calcular la potència d'una matriu, $A^t = V \cdot D^t \cdot V^{-1}$ ($t \ge 0$), calculeu:$$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}^{30}$$

Siguin els vèrtexs d'un triangle al pla $P = (-4, -2)$, $Q = (8, 4)$ i $R = (3, 8)$. Calculeu l'àrea que delimita el triangle $PQR$.

Sigui $a \in \mathbb{R}$ un paràmetre real. Per a quins valors de $a$ és invertible la matriu $A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & -a \end{pmatrix}$ i quina és la seva expressió?

Considerem una matriu $A$ quadrada d'ordre $3 \times 3$ tal que $\operatorname{tr}(A) = 0$ i $\det(A) = -12$. Si se sap que un dels seus valors propis és $\lambda_1 = 1$, quins són els altres dos valors propis aplicant les propietats de la traça i del determinant?

Donades dues matrius invertibles $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, indiqueu quina de les següents relacions algebraiques és CERTA en general:

Pregunta 7 (1 punt). Model matricial conills de Fibonacci

Considerem el model de tipus Leslie aplicat a la dinàmica de conills de Fibonacci:

$$\begin{pmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

on $t \ge 0$ mesura el temps en mesos, $x_t$ és el nombre de parelles joves (menys d'un mes de vida) i $y_t$ les parelles adultes (més d'un mes). La població total ve donada per $N_t = x_t + y_t$. Quantes parelles de conills hi haurà en total al cap d'un any ($t = 12$)?

.

Pregunta 8 (1 punt). Determinant d'una combinació amb la identitat

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$, trobeu quins valors ha de prendre el paràmetre $t$ perquè es compleixi la condició $\det(Id + t\cdot A) = 0$.

Pregunta 9 (1 punt). Distribució temporal en cadena de Markov

Considerem una cadena de Markov per a una població estructurada en dos grups:

$$\begin{pmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.4 \\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \end{pmatrix}, \quad t \ge 0, \quad \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 \\ 73 \end{pmatrix}$$

Calculeu el vector de proporcions normalitzat de la població després de 3 generacions, $\frac{1}{N_3}\vec{x}_3$ (expressat en percentatges arrodonits sense decimals):

Pregunta 10 (1 punt). Distribució asimptòtica model de Leslie

El model matricial de Leslie per a una població estructurada en individus immadurs i madurs s'expressa per:

$$\begin{pmatrix} x_{t+1} \\ y_{t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & f_2 \\ s_1 & p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \end{pmatrix}$$

amb paràmetres $f_2 > 0$ i probabilitats de supervivència $0 < s_1, p < 1$. Sigui $N_t = x_t + y_t$ la població agregada. Si la taxa asimptòtica de creixement correspon al valor propi dominant $\lambda_1 = \frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 + f_2 s_1} > 0$, cap a quina distribució normalitzada tendeix la població a llarg termini?

.

Pregunta 11 (1 punt). Càlcul d'àrea del perfil d'una fulla

El perfil d'una fulla d'arbre ve modelitzat per la funció $f(x) = 4x(1 - \sqrt[3]{x})$, on $x$ representa els decímetres de la tija entre 0 i 1. Si l'àrea total de la fulla és el doble de la delimitada per la gràfica de la funció i l'eix de les abscisses, calculeu l'àrea de la fulla expressada en centímetres quadrats ($\text{cm}^2$).

.

Pregunta 12 (1 punt). Màxim de la funció de precipitació anual

S'ha estimat que la precipitació anual $P$ (en mm) en funció de la temperatura mitjana anual $T$ (en °C) segueix el model:$$P(T) = k\frac{(T + 20)(T - 31)}{T - 34}$$on $k > 0$ és un paràmetre, sabent que en cap zona la temperatura anual és inferior a $-10^\circ\text{C}$ ni supera els $30^\circ\text{C}$. Si la màxima precipitació anual possible és de $P = 4700\text{ mm}$, quin és el valor del paràmetre $k$?

.

Pregunta 13 (1 punt). Taxa temporal de creixement de mortalitat

La mortalitat anual $M$ deguda a la depredació en una comunitat depèn de la mida de la població de preses $x \ge 0$ segons:$$M(x) = 40(1 - e^{-0.01x})$$Si quan la població és de $x = 528$ preses està augmentant a una velocitat de 15 preses per any, a quin ritme creixia la seva mortalitat anual en aquell mateix instant?

.

Pregunta 14 (1 punt). PVI d'equació diferencial de primer ordre

Resoleu el problema de valor inicial:

$$\frac{dx}{dt} = 0.2x - 100, \quad x(0) = 100$$

Si la solució s'expressa de la forma $x(t) = A + Be^{0.2t}$, quins són els valors de les constants $A$ i $B$?

Pregunta 15 (1 punt). Temps de seguretat per desintegració radioactiva

Després d'un incident nuclear es detecta una fuga de iode-131 (amb un període de semidesintegració de 8 dies). La concentració inicial supera en 400 vegades el llindar permès de seguretat. Suposant una dinàmica de desintegració exponencial $x(t) = x_0 e^{-kt}$ ($k > 0$) sense noves emissions, quants dies han de transcórrer com a mínim perquè s'arribi de nou al nivell de seguretat?

Pregunta 16 (1 punt). Punts d'equilibri i estabilitat d'EDO autònoma

Considereu l'equació diferencial autònoma $x' = -\frac{1}{2}(1 - x)^2 + x$. Determineu els seus punts d'equilibri i la seva estabilitat.

Pregunta 17 (1 punt). Refredament d'un cultiu microbiològic

Un cultiu biològic que es troba inicialment a $25^{\circ}\text{C}$ s'introdueix en una nevera que manté una temperatura constant de $4^{\circ}\text{C}$. Al cap de 10 minuts, s'observa que la temperatura del cultiu ha baixat a $12.5^{\circ}\text{C}$. Quina serà la seva temperatura als 20 minuts d'haver-lo guardat a la nevera?

Pregunta 18 (1 punt). Mescles en dipòsit amb aigua pura entrant

Un tanc conté en l'instant inicial 1000 litres d'aigua amb 25 grams de sal dissolta. S'hi injecta un cabal constant de 2 litres/minut d'aigua pura, i en surt al mateix ritme (2 litres/minut) de barreja perfectament homogeneïtzada. Quants grams de sal romandran al dipòsit passades 10 hores?

.

Pregunta 19 (1 punt). Mescles en dipòsit amb entrada de solució salina

Un dipòsit conté inicialment 1000 litres d'aigua i 25 grams de sal dissolta. Hi entra un cabal de 2 litres per minut d'aigua que conté una concentració d'1 g/L de sal, i en surt el mateix cabal de 2 litres per minut de dissolució ben barrejada. Quina quantitat de sal hi haurà al dipòsit un cop transcorregudes 10 hores?

.

Pregunta 20 (1 punt). PVI d'equació diferencial lineal d'ordre 1

Considereu el problema de valor inicial:

$$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + 3t, \quad x(1) = 100$$

Quant val la solució avaluada a $t = 2$?

.