Examen de Matemáticas UDG 2016 · PA3 Febrer 2016

La plaga dels cucs de les gemmes dels avets provoca la desfoliació dels pins canadencs i la seva població és regulada per ocells depredadors. Se sap que la taxa de mortalitat que produeixen aquests ocells ve expressada per:$$M(x) = \frac{3.5x}{64 + x^2}$$on $x > 0$ representa la densitat de cucs. Determineu el valor màxim de la taxa de mortalitat.

Es considera un model dinàmic de pesqueria regit per l'equació diferencial següent:$$\frac{dx}{dt} = 6x\left(1 - \frac{x}{50}\right) - 5x$$on $x(t)$ descriu la biomassa de peixos (en tones) al cap de $t$ mesos. Calculeu els estats d'equilibri del sistema i establiu-ne la seva estabilitat.

Pregunta 3 (1 punt). Velocitat de creixement d'un cultiu microbià

Un medi de cultiu disposa a l'inici de 120 milions de bacteris per mil·lilitre. La població es duplica cada període de 45 minuts, seguint la funció $x(t) = 120 \cdot 2^{t/45}$ milions de bacteris per ml. Quina és la velocitat de creixement de la colònia transcorreguts 60 minuts?

Pregunta 4 (1 punt). Càlcul de la superfície d'una fulla

El contorn superior d'una fulla vegetal ve donat per l'expressió $f(x) = \sqrt{x}(10 - x)$, amb la coordenada de la tija $x$ compresa entre 0 i 10 centímetres. Sabent que la superfície total de la fulla és el doble de la regió compresa entre $f(x)$ i l'eix d'abscisses, determineu la seva àrea.

Pregunta 5 (1 punt). Llei de refredament i mètode de separació de variables

L'evolució tèrmica d'un cos immers en una habitació a $20\text{ }^\circ\text{C}$ satisfà l'equació:

$$\frac{dx}{dt} = -0.01(x - 20), \quad x(0) = x_0$$

on $x(t)$ denota la temperatura (en graus centígrads) al llarg del temps $t$ (en minuts). Trobeu mitjançant separació de variables la temperatura en funció del valor inicial $x_0$.

Pregunta 6 (1 punt). Resolució d'un PVI separable

Considereu el problema de valor inicial:

$$\frac{dx}{dt} = 80 - 0.35x, \quad x(0) = 0$$

Resoleu-lo separant variables i determineu el valor que pren la solució en l'instant $t = 10$.

Pregunta 7 (1 punt). EDO lineal i mètode de variació de les constants

Es considera l'equació diferencial lineal:$$\frac{dx}{dt} = \frac{2x}{t+1} + 1, \quad x(0) = x_0$$

Fent ús del mètode de variació de les constants, expresseu la solució depenent del paràmetre $x_0$. Si se sap a més que $x(1) = 27$, quant val aquesta condició inicial?

Pregunta 8 (1 punt). Desintegració radioactiva de l'iode-131

Arran d'una incidència en una instal·lació nuclear s'ha mesurat un escapament radioactiu d'iode-131, isòtop que posseeix un període de semidesintegració de 8 dies. La fuita fa que la concentració superi en 1850 vegades el màxim admès per la normativa. Assumint que no hi ha més fuites i regint-se pel model de desintegració radioactiva $x' = -kx$ ($k > 0$), en quants dies s'aconseguirà restablir el nivell de seguretat permès?

Pregunta 9 (1 punt). Mescles: rentat amb aigua pura en un dipòsit

Un dipòsit conté al principi 1000 litres d'aigua amb 250 grams de sal en dissolució. S'hi introdueix un cabal continu de 3 litres per minut d'aigua pura i, simultàniament, en desguassen 2 litres per minut de barreja perfectament homogeneïtzada. Quina massa de sal romandrà al tanc al cap de 3 hores?

Pregunta 10 (1 punt). Mescles: dipòsit amb entrada salina

Un dipòsit conté inicialment 1000 litres d'aigua i 250 grams de sal dissolta. S'hi injecta aigua amb una concentració de $0.1\text{ g/L}$ de sal a raó de 3 litres per minut, mentre que s'evacua la barreja homogènia amb un cabal de 2 litres per minut. Quants grams de sal quedaran al recipient un cop transcorregudes 2 hores?

.