Examen de Matemáticas UDG 2016 · prova tipus test PA2 (Gener 2016)

Pregunta 1 (1 punt). Preu de carpeta i bolígraf

Una carpeta i un bolígraf costen en conjunt 12 euros i 10 cèntims. Si el preu de la carpeta supera el del bolígraf en 10 euros, quant val el bolígraf?

Pregunta 2 (1 punt). Àrea del triangle i coordenades del vèrtex R

Sigui un triangle al pla amb vèrtexs $P = (-2, -1)$, $Q = (8, 4)$ i $R = (5, a)$, on $a$ és un nombre real. Si la superfície d'aquest triangle és de $20\text{ cm}^2$, quins són els valors possibles per a les coordenades del vèrtex $R$?

Pregunta 3 (1 punt). Matriu inversa amb paràmetre

Considerem el paràmetre real $b$ i la matriu $A = \begin{pmatrix} b & -(b^2 + 1)/2 \\ 2 & -b \end{pmatrix}$. Quina és la seva matriu inversa $A^{-1}$?

Pregunta 4 (1 punt). Valors propis a partir de traça i determinant

Sigui una matriu d'ordre $3 \times 3$ que té una traça igual a 2, un determinant igual a -3 i un dels seus valors propis és igual a 1. Emprant les propietats de la traça i el determinant, indiqueu quina de les afirmacions següents és FALSA:

Pregunta 5 (1 punt). Taxa de creixement mensual d'una població bacteriana

Si una colònia de bacteris passa de 625 individus a 2.560.000 individus al cap d'un any exacte, quina és la seva taxa de creixement multiplicativa mensual?

Pregunta 6 (1 punt). Model de Leslie i nombre esperat de fills

Una població de dofins es divideix en tres classes d'edat: cries (fins a 10 anys), adults joves (de 10 a 20 anys) i adults vells (més de 20 anys). Les taxes de supervivència observades per dècada són del 40%, 60% i 45% respectivament. Només els adults joves i vells són fèrtils, produint una mitjana de 2,9 i 2,5 cries per dècada respectivament. D'acord amb aquest model poblacional, quin és el nombre mitjà de descendents ($R_0$) que engendra cada individu al llarg de la seva vida?

Pregunta 7 (1 punt). Cadenes de Markov per a la intenció de vot

En un estudi mensual sobre la intenció de vot cap a dues candidates a la presidència, la senyora Marianna i la senyora Petra, es determina que la població es reparteix exclusivament entre partidaris d'una o de l'altra. Els percentatges de votants que mantenen la seva fidelitat d'un mes al següent són del 80% per a Marianna i del 85% per a Petra. Quin serà el percentatge d'electors partidaris de cadascuna a llarg termini?

.

Pregunta 8 (1 punt). Taxa de supervivència per a un creixement asimptòtic donat

La dinàmica d'una població es modelitza mitjançant la matriu de Leslie següent:

$$L = \begin{pmatrix} 0 & 4{,}4 \\ s_1 & 0{,}08 \end{pmatrix}$$

Quin ha de ser el valor de la taxa de supervivència juvenil $s_1$ perquè el creixement percentual asimptòtic de la població sigui d'un 15% per període?

.

Pregunta 9 (1 punt). Supervivència d'adults per a una proporció límit

L'evolució d'una població segueix la matriu de transició de Leslie:

$$L = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}9 & p \end{pmatrix}$$

Per a quin valor del paràmetre de supervivència d'adults $p$ la raó asimptòtica entre joves i adults serà de 2 a 6?

.

Pregunta 10 (1 punt). Vector estacionari d'un model de Markov associat

A partir d'una matriu de Leslie $L = \begin{pmatrix} f_1 & f_2 \\ s_1 & 0 \end{pmatrix}$ amb taxa de creixement màxima $\lambda_1 > 0$, es construeix una cadena de Markov mitjançant la matriu estocàstica:

$$M = \begin{pmatrix} \frac{f_1}{\lambda_1} & 1 \\ \frac{f_2 s_1}{\lambda_1^2} & 0 \end{pmatrix}$$

Si les fertilitats són $f_1 = 1{,}5$ i $f_2 = 2{,}3$, i la supervivència juvenil és $s_1 = 0{,}8$, cap a quin vector estacionari (expressat en percentatges) convergeix la distribució de la població?