Exercício 3 - Taxa de variação · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2021

Ao largo da costa portuguesa, perto de Viana do Castelo, está em desenvolvimento um dos maiores parques flutuantes do mundo para captação de energia eólica. A central deste parque começou a injetar energia na rede elétrica no final de 2019.

A potência útil de uma torre eólica depende, entre outros fatores, da velocidade do vento. Devido a questões técnicas, a partir de um determinado valor da velocidade do vento, por mais que esta aumente, não se permite que a potência aumente, estabilizando-a num determinado valor, para que seja possível injetar a energia gerada na rede elétrica.

O gráfico representado na Figura 1 relaciona a potência útil, $P$, em $\text{kW}$, de uma torre eólica com a velocidade, $v$, em $\text{m/s}$, do vento que faz girar as hélices da torre, para $v > 3$.

De acordo com o gráfico, a potência útil, $P$, desta torre:

é crescente até $3000\text{ kW}$, para valores da velocidade do vento a partir de $3\text{ m/s}$ até um determinado valor, $N$, do qual se sabe ser superior a $15\text{ m/s}$;

é igual a $3000\text{ kW}$, para valores da velocidade do vento a partir de $N$.

Admita que, para $3 < v \le N$, a potência útil, $P$, em $\text{kW}$, é dada por

$$P(v) = -2{,}731\,v^3 + 77{,}834\,v^2 - 393{,}264\,v + 553{,}023$$

3.2.

Determine o valor da taxa de variação média da função $P$ no intervalo $[5, 15]$ e interprete-o no contexto descrito.

Apresente o valor da taxa de variação média arredondado às unidades. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma casa decimal.

3.3.

Seja $T$ a função que dá a taxa de variação instantânea da função $P$, para cada valor de $v$.

Qual é o valor da função $T$ quando $v > N$? Justifique a sua resposta.