Exercício 5 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2021

Uma ponte, idêntica à da fotografia da Figura 2, tem uma torre central e duas torres laterais, cada uma destas à distância de $1000$ metros da torre central. A torre central é mais alta do que as torres laterais, e estas têm a mesma altura.

Do topo da torre central para o topo de cada uma das torres laterais estão fixos, no total, $4$ cabos retilíneos iguais.

Entre cada um desses $4$ cabos e o tabuleiro da ponte, existem cabos verticais, de $25$ em $25$ metros, perpendiculares ao tabuleiro, que o sustentam.

A Figura 3, que não está à escala, representa a situação relativa a um dos $4$ cabos retilíneos fixos na torre central.

Seja $(u_n)$ a sequência dos comprimentos dos cabos verticais, do menor para o maior, relativa à Figura 3, definida por

$$u_n = 2n + 45$$ em que $n$ é a ordem do termo $u_n$ da sequência.

5.1.

Algum dos cabos verticais tem $100$ metros de comprimento?

Justifique a sua resposta.

5.2.

Determine a soma dos comprimentos de todos os cabos verticais usados para sustentar o tabuleiro da ponte.