Exercício 6 - Trigonometria · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2021

O penúltimo rei de Portugal, D. Carlos I, era um apaixonado pela oceanografia e por barcos. Com grande talento para a pintura, deixou várias aguarelas ligadas ao mar.

A Figura 4 é uma fotografia de uma dessas aguarelas.

A partir das velas do barco da Figura 4, um desenhador está a estudar um logótipo composto por dois triângulos, que representou a sombreado, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, tal como mostra a Figura 5.

Nesta figura:

a circunferência tem centro no ponto $O$;

os pontos $A(1,0)$ e $D(-1,0)$ pertencem à circunferência;

o ponto $M$ é o ponto médio do segmento de reta $[OA]$;

a reta $r$ é tangente à circunferência no ponto $A$;

os pontos $B$ e $C$ deslocam-se na reta $r$, de tal forma que $[MB]$ é sempre paralelo a $[OC]$.

Para cada posição do ponto $C$, seja $\alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $AOC$, com

$$40^\circ \le \alpha \le 70^\circ$$

A unidade de medida de comprimento é o metro.

6.1.

Mostre que a soma, $T$, das áreas dos triângulos $[DOC]$ e $[MAB]$, em metros quadrados, é dada, em função de $\alpha$, por $$T(\alpha) = \frac{5\operatorname{tg}(\alpha)}{8}$$

6.2.

Determine o menor e o maior dos valores inteiros de $\alpha$ para os quais a soma, $T$, das áreas dos triângulos $[DOC]$ e $[MAB]$ é superior a $1\text{ m}^2$.

Note que a soma, $T$, das áreas dos triângulos $[DOC]$ e $[MAB]$, em metros quadrados, é dada, em função de $\alpha$, por $T(\alpha) = \frac{5\operatorname{tg}(\alpha)}{8}$.