Exercício 7 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2021

7. No início do século XX, um navio aportou numa ilha com o objetivo de comprar cereais. Nessa ilha, era hábito colocar os cereais numa vasilha de forma esférica.

Um comerciante vendia vasilhas que anunciava estarem cheias com $2600\text{ dm}^3$ de cereal cada uma.

Para verificar a capacidade de uma dessas vasilhas, o comandante do navio dispunha apenas de um bloco de madeira, com a forma de um paralelepípedo, de $2\text{ dm}$ de altura, graduado na face superior, como sugere a Figura 6.

O comandante encostou o bloco de madeira à esfera, como se ilustra na Figura 7, e mediu a distância representada por $d$.

A Figura 8 é um esquema de um corte vertical que passa pelo centro da esfera e pelo ponto da esfera tangente ao solo, e que contém o ponto de contacto do bloco com a esfera.

Neste esquema, que não está à escala:

$O$ é o centro da esfera;

$[OD]$ é um raio horizontal da esfera, com $\overline{OD} = r\text{ dm}$;

$[DC]$ é perpendicular a $[OD]$;

$[OF]$ e $[EB]$ são paralelos a $[DC]$;

$[AB]$ representa a altura do bloco, com $\overline{AB} = 2\text{ dm}$;

$\overline{BC} = d = 3\text{ dm}$.

Apenas com estas duas medidas, o comandante calculou a capacidade da esfera e afirmou que a vasilha não podia conter $2600\text{ dm}^3$ de cereal.

Averigue se a afirmação do comandante estava correta.

Na sua resposta, determine a capacidade da esfera, considerando desprezável a sua espessura.