Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2025 · 2.ª fase

A corrida em trilhos ou corrida todo o terreno é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas, cruzando riachos e rios, com subidas e descidas íngremes. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.

1. A Luísa pretende inscrever-se numa das provas seguintes: Trail dos Abutres (A), Trail dos Morcegos (M), Trail da Serra d’Arga (S) ou Trail das Linhas de Torres (T).

Para selecionar a prova na qual se vai inscrever, a Luísa solicitou a cada um dos colegas de turma que ordenasse numa lista de preferências, uma única vez, as quatro provas.

1.1. O Xavier, um dos colegas da Luísa, ordenou as quatro provas aleatoriamente.

Qual é a probabilidade de o Xavier ter colocado na sua lista de preferências o Trail dos Abutres e o Trail da Serra d'Arga, não necessariamente por esta ordem, nos dois primeiros lugares?

A corrida em trilhos ou corrida todo o terreno é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas, cruzando riachos e rios, com subidas e descidas íngremes. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.

1. A Luísa pretende inscrever-se numa das provas seguintes: Trail dos Abutres (A), Trail dos Morcegos (M), Trail da Serra d’Arga (S) ou Trail das Linhas de Torres (T).

Para selecionar a prova na qual se vai inscrever, a Luísa solicitou a cada um dos colegas de turma que ordenasse numa lista de preferências, uma única vez, as quatro provas.

1.2. Admita que a ordenação das quatro provas, efetuada por cada colega da Luísa, corresponde a um voto, e que foram apurados 27 votos válidos.

Na Tabela 1, apresentam-se as quatro listas de preferências resultantes da votação e o respetivo número de votos.

Para selecionar a prova, a Luísa recorreu ao método a seguir descrito.

Efetuia-se a contagem do número de primeiras preferências de cada prova e verifica-se se alguma delas obtém a maioria absoluta na primeira preferência. Caso isso se verifique, essa prova será a escolhida.

Caso contrário, efetua-se a contagem do número de últimas preferências de cada prova e elimina-se a prova (ou provas, em caso de empate) com mais votos na última preferência. A tabela de preferências é, em seguida, reestruturada, e, em cada coluna, as provas que ocupavam os lugares abaixo da(s) prova(s) eliminada(s) sobem uma linha (ou as necessárias, em caso de empate), mantendo-se pela mesma ordem.

Os procedimentos anteriores são aplicados à tabela de preferências obtida no ponto anterior.

O processo repete-se até que uma das provas obtenha a maioria absoluta na primeira preferência.

Determine, por aplicação do método descrito, qual a prova selecionada pela Luísa.

Na sua resposta, apresente todos os cálculos efetuados.

2. A Ana, o Francisco e a Manuela são três amigos que, em equipa, ganharam dois dos trails em que participaram. Em cada um desses trails, a equipa ganhou um prémio.

Para distribuírem os dois prémios, X e Y, a Ana (A), o Francisco (F) e a Manuela (M) acordaram na utilização do método a seguir descrito.

Cada amigo atribui, secretamente, um valor monetário a cada um dos dois prémios e coloca o registo dessas licitações dentro de um envelope fechado. Em seguida, os envelopes são abertos, e os valores das licitações são registados numa tabela.

Determina-se o valor global atribuído aos prémios por cada amigo e o valor que cada um considera justo receber. Assume-se que o valor que cada amigo considera justo receber é igual a um terço do valor global que ele atribuiu ao conjunto dos dois prémios.

Cada prémio é destinado ao amigo que mais o valoriza, considerando-se que esse amigo recebe o equivalente ao valor monetário que atribuiu ao respetivo prémio.

No caso do(s) amigo(s) que não receba(m) qualquer prémio, considera-se, para efeito dos cálculos seguintes, que o valor monetário recebido por esse(s) amigo(s) é zero euros.

Caso o valor do(s) prémio(s) recebido(s) por um amigo ultrapasse o valor que este considerava justo receber, esse amigo disponibiliza, em dinheiro, o respetivo excedente. Caso contrário, esse amigo deverá receber, em dinheiro, do montante à disposição, o valor em falta, tendo em conta o que considerava justo receber.

Após os procedimentos anteriores, caso ainda reste dinheiro, este é distribuído em partes iguais pelos três amigos.

Na Tabela 2, estão registados os valores, em euros, atribuídos por cada amigo nas licitações secretas.

Tabela 2

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

O Francisco considera que o valor global dos dois prémios é, e 59 € é o valor que considera justo receber. Concluída a aplicação do método descrito, não fica com nenhum prémio, mas recebe um total de.

I · II · III · IV

a) 210 € · a) a Ana · a) a Ana · a) 16 €

b) 177 € · b) o Francisco · b) o Francisco · b) 45 €

c) 135 € · c) a Manuela · c) a Manuela · c) 61 €

3. O Trail das Linhas de Torres 100 (LT100) pretende homenagear as Linhas de Torres Vedras, classificadas como monumento nacional.

O LT100 tem uma extensão máxima de 100 km, num percurso de Torres Vedras a Vila Franca de Xira, e integra, entre outras:

uma prova com 100 km de extensão, realizada individualmente, designada K100;

uma prova com 100 km de extensão, realizada em estafetas por equipas de duas pessoas, designada K100/2;

uma prova com 50 km de extensão, realizada individualmente, designada K50.

Na Tabela 3, apresentam-se os valores monetários das inscrições, por pessoa, em função da prova e da data da inscrição, e o valor a adicionar à inscrição, caso o participante deseje reservar transporte entre o local da meta e o local de partida.

Uma empresa de Torres Vedras, para incentivar a participação no LT100, anunciou que comparticiparia 60% do total das despesas referentes à inscrição e ao transporte dos seus trabalhadores.

Admita que, desta empresa, se inscreveram:

dois trabalhadores, na prova K100, um em setembro de 2024 e um em janeiro de 2025;

uma equipa de trabalhadores, na prova K100/2, em dezembro de 2024;

quatro trabalhadores, na prova K50, em outubro de 2024.

Apenas os dois trabalhadores que se inscreveram na prova K100 não reservaram transporte.

Determine o valor, em euros, comparticipado pela empresa.

4. A equipa organizadora de uma prova de trail pretende definir um percurso que passe, obrigatoriamente, pelos cinco postos de controlo: C1, C2, C3, C4 e C5.

Na Tabela 4, estão registadas as distâncias mínimas, em metros, entre cada dois postos de controlo.

Tabela 4

C1

C2

C3

C4

C5

C1

2770

2400

2260

1780

C2

2770

2370

2360

2550

C3

2400

2370

2225

2660

C4

2260

2360

2225

3100

C5

1780

2550

2660

3100

A equipa organizadora decidiu que a prova teria início no posto de controlo C2 e terminaria num dos restantes postos de controlo.

Para definir o percurso, a equipa optou por aplicar o método a seguir descrito.

Seleciona-se o posto de controlo seguinte, tendo em conta que:

– deve ser o mais próximo possível;

– se houver dois postos à mesma distância, a seleção é aleatória.

Procede-se como foi indicado no ponto anterior, não se repetindo nenhum posto de controlo, e terminando após a passagem por todos os postos de controlo.

Determine o comprimento do percurso da prova, respeitando as condições definidas pela equipa organizadora.

Na sua resposta, apresente:

– um grafo que resulte da aplicação do método descrito;

– a ordem de passagem pelos postos de controlo.

seek

5. Existem diversas aplicações para telemóvel que permitem aos utilizadores a monitorização, em tempo real, do percurso realizado durante uma caminhada. A AppCaminhadas e a AppTrilhos são duas dessas aplicações.

Admita que, em Portugal, o número de utilizadores da AppCaminhadas, em milhares, decorridos $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado pelo modelo $C$, definido por

$$C(t) = 20 + 5\log_{10}(9t + 10) \quad (t \ge 0)$$

5.1. Na Figura 1, apresenta-se um mapa de Portugal continental, dividido em várias regiões. Para três destas regiões (Norte, Centro e Lisboa e Vale do Tejo), apresenta-se ainda um gráfico, por região, relativo ao número de utilizadores da AppCaminhadas, em milhares, no início dos anos de 2010, de 2011 e de 2012.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

Nos primeiros dez anos, após o início do ano 2000, em Portugal, o número de utilizadores da AppCaminhadas teve um aumento de milhares de utilizadores. Comparando o número de utilizadores da AppCaminhadas no início dos anos de 2010, de 2011 e de 2012, apresentados na Figura 1, conclui-se que é na região que o número de utilizadores poderá apresentar um crescimento linear.

No início de 2012, em Portugal, um sétimo do número de utilizadores da AppCaminhadas pertencia à região.

No início de 2011, em Portugal, a percentagem, arredondada às unidades, do número de utilizadores da AppCaminhadas que pertencia às regiões Norte, Centro e de Lisboa e Vale do Tejo era.

5. Existem diversas aplicações para telemóvel que permitem aos utilizadores a monitorização, em tempo real, do percurso realizado durante uma caminhada. A AppCaminhadas e a AppTrilhos são duas dessas aplicações.

Admita que, em Portugal, o número de utilizadores da AppCaminhadas, em milhares, decorridos $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado pelo modelo $C$, definido por

$$C(t) = 20 + 5\log_{10}(9t + 10) \quad (t \ge 0)$$

5.2. Para os que mais apreciam caminhadas, é possível subscrever a versão Premium da AppCaminhadas, um serviço exclusivo com mais funcionalidades, mas sujeito a pagamento.

Admita que, num determinado ano, 20% dos utilizadores da AppCaminhadas em Portugal subscreveram a versão Premium, o que corresponde a 5600 subscritores.

Determine o ano em que tal ocorreu.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

o(s) gráfico(s) visualizado(s);

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

a)

b)

c)

d)

5. Existem diversas aplicações para telemóvel que permitem aos utilizadores a monitorização, em tempo real, do percurso realizado durante uma caminhada. A AppCaminhadas e a AppTrilhos são duas dessas aplicações.

Admita que, em Portugal, o número de utilizadores da AppCaminhadas, em milhares, decorridos $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado pelo modelo $C$, definido por

$$C(t) = 20 + 5\log_{10}(9t + 10) \quad (t \ge 0)$$

5.3. Em Portugal, o número de utilizadores da aplicação AppTrilhos, em milhares, decorridos $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado por um modelo $T$.

Admita que, em Portugal, no início do ano de 2015, a AppCaminhadas tinha mais 3000 utilizadores do que a AppTrilhos.

Qual das expressões seguintes traduz a afirmação anterior?

()

O $V_{\text{O}_2\text{max}}$, que é o volume máximo de oxigénio que uma pessoa pode consumir durante a realização de exercícios intensos, será tanto maior quanto melhor for a condição física dessa pessoa. Constitui um indicador importante da capacidade aeróbica e da eficiência cardiovascular de uma pessoa, permitindo comparar o desempenho aeróbico de diferentes indivíduos, mesmo com diferentes massas corporais.

A unidade de medida do $V_{\text{O}_2\text{max}}$ é expressa em mililitros de oxigénio por quilograma de massa corporal, por minuto ($\text{mL}\,\text{kg}^{-1}\,\text{min}^{-1}$).

6.1.

Uma equipa estudou o valor do $V_{\mathrm{O}_2\,\max}$ dos utilizadores da aplicação AppCaminhadas, em função da idade, em anos.

Na Figura 2, está representado o gráfico de percentis construído com base nos dados recolhidos.

A localização do ponto A, de coordenadas $(65, 40)$, assinalado na Figura 2, permite-nos concluir que um utilizador da AppCaminhadas com 65 anos de idade e com um $V_{\mathrm{O}_2\,\max}$ de $40\text{ mL}\cdot\text{kg}^{-1}\text{min}^{-1}$ se encontra no percentil 80. Ou seja, considerando-se os utilizadores da AppCaminhadas com 65 anos de idade, espera-se que, pelo menos, 80% tenham um $V_{\mathrm{O}_2\,\max}$ inferior ou igual a $40\text{ mL}\cdot\text{kg}^{-1}\text{min}^{-1}$.

Numa amostra com 200 utilizadores da AppCaminhadas, com 25 anos de idade, qual é o número mínimo dos que se espera que tenham um valor de $V_{\mathrm{O}_2\,\max}$ inferior ou igual a $45\text{ mL}\cdot\text{kg}^{-1}\text{min}^{-1}$?

6.2.

Foram recolhidos os valores do $V_{\mathrm{O}_2\,\max}$ ($\text{mL}\cdot\text{kg}^{-1}\text{min}^{-1}$) de alguns dos utilizadores da aplicação AppCaminhadas no momento em que terminaram uma caminhada.

Os valores recolhidos foram organizados nas classes $[10, 20[$, $[20, 30[$,..., $[50, 60[$, construindo-se, de seguida, um histograma de frequências relativas acumuladas, em percentagem, e um diagrama de extremos e quartis, que se apresentam na Figura 3.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

A classe modal dos dados recolhidos foi a classe, e a classe à qual corresponde o menor número de utilizadores foi a classe.

No diagrama de extremos e quartis, um possível valor de $x$ é, e um possível valor de $y$ é.

I · II · III · IV

a) [10, 20[ · a) [10, 20[ · a) 11 · a) 31

b) [20, 30[ · b) [20, 30[ · b) 9 · b) 22

c) [30, 40[ · c) [30, 40[ · c) 7 · c) 18

6.3.

Admita que, no diagrama de caule-e-folhas apresentado na Figura 4, estão registadas as medições do $V_{\mathrm{O}_2\,\max}$ ($\text{mL}\cdot\text{kg}^{-1}\text{min}^{-1}$) realizadas num grupo A composto por 12 pessoas. O algarismo das dezenas de cada registo é apresentado no caule, e o algarismo das unidades é apresentado nas folhas.

Mais tarde, fizeram-se medições num outro grupo, grupo B, composto por 24 pessoas.

Determine a média do $V_{\mathrm{O}_2\,\max}$ ($\text{mL}\cdot\text{kg}^{-1}\text{min}^{-1}$) das pessoas do grupo B, sabendo-se que, no conjunto das 36 pessoas, a média do $V_{\mathrm{O}_2\,\max}$ era $45\text{ mL}\cdot\text{kg}^{-1}\text{min}^{-1}$.

O $V_{\text{O}_2\text{max}}$, que é o volume máximo de oxigénio que uma pessoa pode consumir durante a realização de exercícios intensos, será tanto maior quanto melhor for a condição física dessa pessoa. Constitui um indicador importante da capacidade aeróbica e da eficiência cardiovascular de uma pessoa, permitindo comparar o desempenho aeróbico de diferentes indivíduos, mesmo com diferentes massas corporais.

A unidade de medida do $V_{\text{O}_2\text{max}}$ é expressa em mililitros de oxigénio por quilograma de massa corporal, por minuto ($\text{mL}\,\text{kg}^{-1}\,\text{min}^{-1}$).

6.4. Os praticantes de atletismo podem recorrer a estudos teóricos para prever o tempo mínimo necessário para concluir uma maratona, tendo em conta o valor do $V_{\text{O}_2\,\text{max}}$ medido no início da maratona.

Num estudo teórico, relacionou-se cada valor do $V_{\text{O}_2\,\text{max}}$ ($x$), em $\text{mL}\,\text{kg}^{-1}\,\text{min}^{-1}$, com a previsão do tempo mínimo ($y$), em minutos, necessário para concluir uma maratona.

Na Tabela 5, apresentam-se alguns dados recolhidos nesse estudo.

Tabela 5

$x$

36

48

60

72

84

$y$

250

198

164

140

122

Admita que a relação entre as variáveis $x$ e $y$, da Tabela 5, é bem aproximada por uma regressão linear, na forma $y = ax + b$.

Um praticante de atletismo, no momento em que iniciou uma maratona, tinha um $V_{\text{O}_2\,\text{max}}$ igual a $50\,\text{mL}\,\text{kg}^{-1}\,\text{min}^{-1}$.

Estime o tempo mínimo necessário para que o praticante de atletismo conclua essa maratona, com base no modelo de regressão linear.

Apresente o resultado em minutos, arredondado às unidades.

Na sua resposta, apresente:

– a equação da reta de regressão, com o valor de $a$ arredondado com três casas decimais;

– a estimativa do tempo mínimo necessário para a maratona.

minutos

Nas várias edições de uma determinada prova de trail, recolheram-se diversos dados dos inscritos, que, ao longo dos anos, serviram de base para a realização de um estudo estatístico.

7.1.

Junto dos inscritos na edição de 2024 desta prova de trail, os dados foram recolhidos com o intuito de se saber, entre outras coisas, se cada um deles já tinha participado numa prova deste tipo e se pertencia ao escalão etário Sub23.

Na Figura 5, apresentam-se os dados recolhidos, devidamente organizados.

Admita que, na edição de 2024 desta prova de trail, dos inscritos que nunca tinham participado numa prova deste tipo, $35\%$ pertenciam ao escalão etário Sub23.

Seleciona-se, ao acaso, um dos inscritos na edição de 2024 desta prova de trail.

Determine a probabilidade de esse inscrito já ter participado numa prova deste tipo e não pertencer ao escalão etário Sub23.

Nas várias edições de uma determinada prova de trail, recolheram-se diversos dados dos inscritos, que, ao longo dos anos, serviram de base para a realização de um estudo estatístico.

7.2. Admita que o peso*, em quilogramas, dos inscritos nesta prova, ao longo dos anos, segue uma distribuição normal, de valor médio 72 quilogramas e desvio padrão $\sigma$ quilogramas.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

Seleciona-se, ao acaso, um dos inscritos nesta prova.

A probabilidade de o seu peso ser superior a 80 quilogramas pode ser (I), e a probabilidade de o seu peso ser superior a 78 quilogramas é igual à probabilidade de o seu peso ser inferior a (II) quilogramas. A probabilidade de esse inscrito ter um peso entre $72 - 2\sigma$ e $72$ quilogramas é, aproximadamente, (III).

A probabilidade de o seu peso ser inferior a (IV) quilogramas é igual a, aproximadamente, 0,15865.

* Na sua aceção corrente, a palavra «peso» é utilizada como sinónimo de massa.

I · II · III · IV

a) 0,45 · a) 58 · a) 0,34135 · a) $72 - \sigma$

b) 0,50 · b) 66 · b) 0,47725 · b) $72 - 2\sigma$

c) 0,55 · c) 68 · c) 0,49865 · c) $72 - 3\sigma$