Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2022 · 2.ª fase

1. Na ilha de Dujal, existe um parque de campismo que é muito procurado por campistas.

Para eleger o novo diretor do parque, os 30 principais acionistas da empresa que o detém votaram, cada um deles, numa lista de preferências constituída pelos três candidatos elegíveis para o cargo: a Ana (A), o Bruno (B) e o Carlos (C).

A Figura 1 apresenta os resultados dos 30 votos validamente expressos.

De acordo com a Figura 1, três dos acionistas votaram na lista de preferência ABC, pois o número 3 está numa região do triângulo cujo vértice mais próximo é o A, seguindo-se o B e, finalmente, o C.

1.1. Concluída a votação, os resultados foram registados numa tabela semelhante à Tabela 1, que se apresenta parcialmente preenchida, para posterior eleição do novo diretor do parque de campismo.

Tabela 1

Preferência \ Votos · 3 · 4 · 4 · 6 · 6 · 7

1.ª · A · · · · · C

2.ª · B · · · · · A

3.ª · C · · · · · B

A eleição do novo diretor do parque de campismo resultou da aplicação do método a seguir descrito.

Seleciona-se um par de candidatos e atribui-se o número de votos registados em cada coluna ao candidato mais bem posicionado, de entre os dois selecionados.

Comparam-se os votos obtidos por esses dois candidatos. O candidato com o maior número de votos é o vencedor do par escolhido.

Repetem-se os procedimentos anteriores até um dos candidatos ter vencido todas as comparações com os restantes. Esse candidato será o vencedor da eleição e, portanto, o novo diretor do parque de campismo.

Determine qual dos candidatos foi eleito como novo diretor do parque de campismo por aplicação do método descrito, começando por comparar as votações dos candidatos A e C.

1.

Votos em A:

Votos em C:

2.

Votos em B:

Votos em C:

3.

1. Na ilha de Dujal, existe um parque de campismo que é muito procurado por campistas.

Para eleger o novo diretor do parque, os 30 principais acionistas da empresa que o detém votaram, cada um deles, numa lista de preferências constituída pelos três candidatos elegíveis para o cargo: a Ana (A), o Bruno (B) e o Carlos (C).

A Figura 1 apresenta os resultados dos 30 votos validamente expressos.

De acordo com a Figura 1, três dos acionistas votaram na lista de preferência ABC, pois o número 3 está numa região do triângulo cujo vértice mais próximo é o A, seguindo-se o B e, finalmente, o C.

1.2. Escolhe-se, ao acaso, um dos 30 votos apresentados na Figura 1.

Considere os acontecimentos seguintes, associados a esta experiência aleatória:

$R$: «O voto selecionado tem como primeira preferência o candidato B»

$S$: «O voto selecionado tem como segunda preferência o candidato A»

Qual é o valor da probabilidade condicionada $P(R \mid S)$?

()

2. A Lara, o Manuel, a Paula, o Vasco e o Tomás são os responsáveis pela inspeção diária do recinto do parque de campismo. Para rentabilizar o seu trabalho, decidem dividir o recinto em cinco parcelas, ficando cada um responsável pela inspeção de uma parcela. De modo a realizar uma divisão do trabalho que cada um considerasse justa, aplicaram o algoritmo a seguir descrito.

1.º passo: Atribui-se, aleatoriamente, uma ordem aos responsáveis. Considere-se que a ordem atribuída foi A, B, C, D e E.

2.º passo: O responsável A delimita uma parcela do mapa do recinto que considera corresponder a $\frac{1}{5}$ do total, visto serem cinco os intervenientes iniciais, e entrega a parcela em causa ao responsável B.

3.º passo: O responsável B pronuncia-se, concordando com a divisão efetuada ou dela discordando:

se considera que a parcela que lhe foi entregue é $\frac{1}{5}$ do mapa (ou menos), passa a vez ao responsável seguinte, entregando-lhe a parcela em causa;

se considera que a parcela que lhe foi entregue é mais do que $\frac{1}{5}$ do mapa, retifica-a (retirando-lhe uma parte) e passa a vez ao responsável seguinte, entregando-lhe a parcela em causa.

4.º passo: O responsável C repete o procedimento do 3.º passo e entrega a parcela em causa ao responsável D.

5.º passo: O responsável D repete o procedimento do 3.º passo e entrega a parcela em causa ao responsável E.

6.º passo: O responsável E pronuncia-se:

se concorda com a divisão efetuada, atribui a parcela resultante de todo este processo ao último responsável que tenha retificado a parcela ou, caso ninguém a tenha retificado, entrega-a ao responsável A;

se discorda da divisão efetuada, retifica a parcela, e esta é-lhe entregue; termina assim a primeira volta, saindo o responsável que acabou de receber a parcela.

7.º passo: A segunda volta faz-se com o que resta do mapa e inicia-se no responsável a seguir ao que acabou de receber a parcela na volta anterior, mantendo-se a ordem entre os restantes responsáveis.

8.º passo: Realizam-se as voltas necessárias, sempre com um responsável a menos do que na volta anterior, até que restem apenas dois responsáveis. Quando isso acontecer, um divide e o outro escolhe. Termina, assim, a divisão do mapa do recinto pelos cinco responsáveis.

Para a divisão do mapa, a ordem atribuída aleatoriamente foi: Manuel, Tomás, Lara, Vasco e Paula.

Admita que:

a segunda volta se iniciou com a Lara;

na segunda volta, a parcela foi atribuída ao Vasco;

na terceira volta, houve retificações por parte de dois responsáveis.

Associe a cada um dos nomes apresentados na Coluna I as afirmações da Coluna II que lhe correspondem por aplicação do algoritmo.

Cada uma das afirmações, de 1 a 7, deve ser associada apenas a um dos nomes e todas as afirmações devem ser utilizadas.

COLUNA I

COLUNA II

Lara

(1) Na primeira volta, foi-lhe atribuída uma parcela do mapa do recinto.

(2) Na segunda volta, foi o responsável a pronunciar-se após a parcela ter sido retificada.

(3) Inicia a terceira volta.

(4) Na terceira volta, foi-lhe atribuída uma parcela do mapa do recinto.

(5) Na terceira volta, retificou a parcela.

(6) Nunca retificou qualquer parcela.

(7) Nunca iniciou qualquer volta.

()

→

seek

3. No parque de campismo de Dujal, existem cinco ecopontos: A, B, C, D e E.

No final de cada dia, um funcionário recolhe o conteúdo dos ecopontos. De modo a tornar mais eficiente o seu trabalho, o funcionário definiu um itinerário, com início e fim no portão do parque (P), para a recolha do conteúdo dos cinco ecopontos.

O itinerário definido resultou de um grafo construído com o algoritmo seguinte:

escolher a aresta do grafo com menor peso, qualquer que ela seja;

escolher, sucessivamente, as arestas com menor peso, garantindo que três arestas do grafo que está a ser definido não se encontram num mesmo vértice e não permitindo que se formem quaisquer percursos fechados que não incluam todos os vértices.

As distâncias mínimas, em metros, entre cada dois ecopontos e entre o portão e cada um dos cinco ecopontos estão registadas na Tabela 2.

Tabela 2

· B · C · D · E · P

A · 310 · 730 · 365 · 600 · 395

B · · 550 · 400 · 790 · 710

C · · · 800 · 610 · 366

D · · · · 605 · 615

E · · · · · 380

Apresente um possível itinerário, definido pelo funcionário, com início e fim no portão.

Na sua resposta, apresente:

a ordenação das arestas selecionadas pelo algoritmo descrito;

um grafo semelhante ao que terá sido construído pelo funcionário.

1.

2.

3.

4. Na Figura 2, está reproduzida parte da tabela de taxas diárias praticadas no parque de campismo da ilha de Dujal, no mês de junho.

Bungalow M

(até 4 pessoas)

Bungalow G

(até 6 pessoas)

Tenda

Taxa diária

80 €

100 €

6,50 €*

* a este preço acresce o valor de 5,50 € por adulto alojado.

Figura 2

Durante o mês de junho, uma empresa organizou um evento para 140 pessoas, reservando 8 bungalows M, 10 bungalows G e 12 tendas para um dia.

Admita que todos os bungalows foram usados na sua capacidade máxima e que, do valor faturado, o parque obteve um lucro de 25%.

Qual é o valor exato do lucro, em euros, que o parque de campismo obteve com este evento?

€

5. Uma das principais atrações do parque de campismo da ilha de Dujal é o seu lago natural, onde existem diversas espécies de peixes.

Admita que o número de peixes da espécie $A$ existentes no lago, em centenas, $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado pelo modelo

$$A(t) = \frac{20}{1 + 99e^{-0,8t}}$$

Assim, por exemplo, como $A(10) \approx 19,35713$ centenas, o número aproximado de peixes da espécie $A$ existentes no lago, dez anos após o início do ano 2000, é 1936.

5.1. Qual foi o aumento, em percentagem, do número de peixes da espécie A no lago, comparando o número de peixes existentes três anos após o início do ano 2000 com o número existente seis anos após o início do ano 2000?

Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

%

5. Uma das principais atrações do parque de campismo da ilha de Dujal é o seu lago natural, onde existem diversas espécies de peixes.

Admita que o número de peixes da espécie $A$ existentes no lago, em centenas, $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado pelo modelo

$$A(t) = \frac{20}{1 + 99e^{-0,8t}}$$

Assim, por exemplo, como $A(10) \approx 19,35713$ centenas, o número aproximado de peixes da espécie $A$ existentes no lago, dez anos após o início do ano 2000, é 1936.

5.2. Num determinado momento, o número de peixes da espécie A foi, pela primeira vez, seis vezes maior do que o número de peixes existentes no início do ano 2002.

Determine em que ano tal ocorreu.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

— o(s) gráfico(s) visualizado(s);

— a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às décimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

5. Uma das principais atrações do parque de campismo da ilha de Dujal é o seu lago natural, onde existem diversas espécies de peixes.

Admita que o número de peixes da espécie $A$ existentes no lago, em centenas, $t$ anos após o início do ano 2000, é bem aproximado pelo modelo

$$A(t) = \frac{20}{1 + 99e^{-0,8t}}$$

Assim, por exemplo, como $A(10) \approx 19,35713$ centenas, o número aproximado de peixes da espécie $A$ existentes no lago, dez anos após o início do ano 2000, é 1936.

5.3. A evolução do número de peixes da espécie B no lago do parque de campismo, desde o início do ano 1997, pode ser modelada através de uma função.

Com o tempo, estima-se que o número de peixes da espécie B no lago venha a atingir o dobro do número de peixes da espécie A.

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico dessa função, desde o início do ano 1997, considerando que $t = 0$ corresponde ao início do ano 2000?

()

6. No parque de campismo de Dujal, existem 380 lugares distribuídos do seguinte modo:

lugares para tendas;

lugares para estacionar autocaravanas;

lugares para estacionar automóveis.

Ao longo de uma determinada semana, verificou-se que estiveram sempre ocupados os mesmos 200 lugares.

Na Figura 3, é apresentada a distribuição dos lugares ocupados, tendo em conta a sua função.

Na Tabela 3, apresenta-se o número de lugares no parque de campismo, tendo em conta a sua função e o número de lugares ocupados por autocaravanas.

Tabela 3

N.º de lugares

N.º de lugares ocupados

Tenda

175

Autocaravana

80

20

Automóvel

125

Determine a percentagem de lugares ocupados por automóveis, relativamente ao número de lugares existentes para os estacionar.

%

7. Um grupo de catorze pessoas, o grupo A, cuja média de idades é 20 anos, realizou uma festa no parque de campismo de Dujal.

7.1.

Admita que a amplitude da distribuição das idades das pessoas do grupo A é 19 anos.

Em cada uma das opções seguintes, é apresentado um diagrama de caule e folhas. Nos diagramas, o algarismo das dezenas de cada registo é indicado no caule, e o algarismo das unidades é indicado nas folhas.

Qual dos diagramas seguintes pode representar as idades daquele grupo de pessoas?

()

7.2.

Ao grupo A, constituído por 14 pessoas, juntou-se um outro grupo de pessoas, o grupo B, cuja média de idades é 18 anos.

Admita que a média das idades da totalidade das pessoas dos dois grupos é 18,7 anos.

Determine por quantas pessoas é constituído o grupo B.

8. O parque de campismo dispõe de diversas comodidades para os seus clientes, sendo duas delas um bar e uma piscina.

8.1. Questionou-se um conjunto de 300 clientes que usufruíram de, pelo menos, uma das duas comodidades referidas e verificou-se que:

80 clientes tinham usufruído de ambas as comodidades;

dos clientes que usufruíram do bar, a terça parte também usufruiu da piscina.

Quantos, do conjunto de 300 clientes, usufruíram da piscina?

8. O parque de campismo dispõe de diversas comodidades para os seus clientes, sendo duas delas um bar e uma piscina.

8.2. Numa determinada altura do ano, verificou-se que:

$60\%$ dos clientes eram estrangeiros;

$30\%$ dos clientes eram estrangeiros e não usufruíram da piscina;

dos clientes que não eram estrangeiros, $80\%$ não usufruíram da piscina.

Escolheu-se, ao acaso, um destes clientes.

Determine a probabilidade de esse cliente ter usufruído da piscina.

Apresente o resultado na forma de dízima.

9. No parque de campismo da ilha de Dujal, foi feito um estudo para estimar a idade média dos campistas, em anos, que aí acamparam nos últimos doze meses.

Para esse estudo, recorreu-se a uma amostra aleatória, de dimensão superior a 30 campistas, e construiu-se um intervalo a $90\%$ de confiança para a idade média dos campistas.

Admita que a amplitude desse intervalo de confiança era $0{,}3619$ e que o desvio padrão amostral era, aproximadamente, igual a $5{,}5$ anos.

Qual terá sido a dimensão dessa amostra?