Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2025 · 1.ª fase

1. Em 2024, foi necessário eleger uma equipa de gestão das áreas concessionadas das praias de uma região. Nessa eleição, cada um dos concessionários teve direito a um voto numa das três listas que se apresentaram a votação: listas A, B e C.

A votação foi realizada a distância, com recurso a uma aplicação para telemóvel, na qual cada um dos votantes submetia o seu voto depois de selecionar a lista em que pretendia votar.

Na Tabela 1, está registado o número de votos, validamente expressos, obtidos por cada uma das listas concorrentes.

Tabela 1

Listas · A · B · C

N.º de votos · 18 · 51 · 32

1.1. Selecionou-se, ao acaso, um dos votos registados na Tabela 1.

Qual é a probabilidade de esse voto ter sido atribuído à lista A, sabendo-se que não foi atribuído à lista C?

1. Em 2024, foi necessário eleger uma equipa de gestão das áreas concessionadas das praias de uma região. Nessa eleição, cada um dos concessionários teve direito a um voto numa das três listas que se apresentaram a votação: listas A, B e C.

A votação foi realizada a distância, com recurso a uma aplicação para telemóvel, na qual cada um dos votantes submetia o seu voto depois de selecionar a lista em que pretendia votar.

Na Tabela 1, está registado o número de votos, validamente expressos, obtidos por cada uma das listas concorrentes.

Tabela 1

Listas · A · B · C

N.º de votos · 18 · 51 · 32

1.2. A equipa de gestão pode integrar candidatos das três listas e é constituída por um determinado número de elementos (mandatos).

O apuramento do número de candidatos de cada lista que vão integrar a equipa de gestão resulta da conversão do número de votos em mandatos pelo método a seguir descrito.

Divide-se o número de votos de cada lista, sucessivamente, por 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Ordenam-se os quocientes obtidos, por ordem decrescente, numa série de tantos termos quantos os mandatos previstos.

Atribuem-se os mandatos às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série.

No caso de ficar somente um mandato por atribuir e de os termos seguintes da série serem iguais e correspondentes a listas diferentes, o mandato é atribuído à lista que tiver menor número de votos.

Na Tabela 2, apresentam-se, por ordem, os nomes dos primeiros seis candidatos da Lista B.

Tabela 2

LISTA B

N.º

Candidatos

1

Camila Ferreira

2

Manuel Pedro

3

Guilherme Santos

4

Leonor Sousa

5

Joana Almeida

6

Pedro Ribeiro

Se, por exemplo, fossem atribuídos dois mandatos à lista B, os candidatos números 1 e 2, respetivamente, Camila Ferreira e Manuel Pedro, teriam integrado a equipa.

No apuramento dos resultados, por aplicação do método descrito, verificou-se que Joana Almeida, candidata número 5 da Lista B, foi o penúltimo elemento a integrar a equipa de gestão.

Determine o número de elementos da equipa de gestão.

Na sua resposta, apresente quantos elementos de cada lista compõem essa equipa.

Caso proceda a arredondamentos nos quocientes resultantes da aplicação do método descrito, conserve uma casa decimal.

2. A Carla, o Edgar, o José, a Lurdes e a Paula são cinco primos que, certo dia, fizeram um lanche na praia. Encomendaram uma piza, que dividiram pelos cinco. De modo a realizar uma divisão que cada um considerasse justa, aplicaram o algoritmo a seguir descrito.

1.º passo: Atribui-se, aleatoriamente, uma ordem aos primos. Considere-se que a ordem atribuída foi A, B, C, D e E.

2.º passo: O primo A delimita uma parte da piza que considera corresponder a $\frac{1}{5}$ do total, visto serem cinco os intervenientes iniciais.

3.º passo: O primo B pronuncia-se, concordando com a delimitação efetuada, ou dela discordando:

se considera que a parte delimitada corresponde a $\frac{1}{5}$ da piza (ou menos), passa a vez ao primo seguinte;

se considera que a parte delimitada é mais do que $\frac{1}{5}$ da piza, retifica-a e passa a vez ao primo seguinte.

4.º passo: O primo C repete o procedimento do 3.º passo e passa a vez ao primo D.

5.º passo: O primo D repete o procedimento do 3.º passo e passa a vez ao primo E.

6.º passo: O primo E pronuncia-se:

se concorda com a delimitação efetuada, atribui a parte da piza resultante de todo este processo ao último primo que a tenha retificado ou, caso ninguém a tenha retificado, entrega-a ao primo A;

se discorda da delimitação efetuada, retifica a parte da piza, e esta é-lhe entregue.

Termina assim a primeira volta, saindo o primo que acabou de receber esta parte da piza.

7.º passo: A segunda volta faz-se com o que resta da piza e inicia-se no primo a seguir ao que acabou de receber a sua parte na volta anterior, mantendo-se a ordem entre os restantes primos.

8.º passo: Realizam-se as voltas necessárias, sempre com um primo a menos do que na volta anterior, até restarem apenas dois primos. Na última volta, só com dois primos, um divide e o outro escolhe. Termina, assim, a divisão da piza pelos cinco primos.

Para a divisão da piza, a ordem atribuída aleatoriamente foi: Lurdes, Carla, José, Edgar e Paula.

Admita que:

na primeira e na terceira voltas, todos retificaram a parte da piza na sua vez;

na segunda volta, o José foi o único primo que retificou a parte da piza na sua vez.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

O José ficou com a sua parte da piza na

volta. A

iniciou duas voltas. O número de primos que não iniciaram qualquer volta foi igual a

. O Edgar foi um dos primos que, juntamente com a

, obtiveram a sua parte da piza na última volta.

3. Para preparar as férias, o Edgar tem de concretizar seis tarefas, $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$, $T_5$ e $T_6$. Como algumas destas tarefas só podem ter início depois de outras tarefas já terem sido concluídas, o Edgar organizou a informação num grafo orientado.

Na Figura 1, apresenta-se esse grafo, cujos vértices representam as tarefas, ao passo que as arestas representam as suas precedências. Apresenta-se, ainda, o número de dias necessário à concretização da respetiva tarefa.

Por exemplo, a aresta orientada de $T_4$ para $T_3$ significa que a tarefa $T_3$ só poderá ter início depois da conclusão da tarefa $T_4$, sendo necessários quatro dias para concretizar a tarefa $T_4$ e um dia para concretizar a tarefa $T_3$.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

Com base no grafo apresentado na Figura 1, o Edgar determinou o número mínimo de dias para a concretização das seis tarefas, programando a realização de tarefas em simultâneo, sempre que possível, e respeitando as precedências definidas.

Antes de dar início à tarefa $T_5$, o Edgar tem de concluir, no mínimo, tarefas.

Até dar por concluída a tarefa $T_3$, são necessários, no mínimo, dias. Para concluir todas as tarefas, no número mínimo de dias, o Edgar tem de iniciar, nomeadamente, as tarefas em simultâneo. O Edgar necessita, no mínimo, de dias para concretizar todas as tarefas.

I · II · III · IV

a) 3 · a) 3 · a) $T_2$ e $T_6$ · a) 11

b) 4 · b) 4 · b) $T_3$ e $T_5$ · b) 6

c) 5 · c) 5 · c) $T_4$ e $T_5$ · c) 5

4. Para planear uma caminhada, de ida e volta, de sua casa até à Marina de Vilamoura, a Leonor construiu o grafo apresentado na Figura 2. No grafo, os seis vértices representam seis locais: a casa da Leonor, a Marina de Vilamoura e os outros quatro locais por onde pretende passar. As arestas representam os percursos mais curtos entre os seis locais. Nesse grafo, estão indicadas as distâncias que são do conhecimento da Leonor, sendo as restantes determinadas a partir da consulta do mapa, que não está à escala, apresentado na Figura 3.

Após determinar as distâncias em falta no grafo, a Leonor ordenou, de forma crescente, as distâncias entre os seis locais apresentados na Figura 2. De seguida, recorrendo a um novo grafo, construiu um percurso fechado que ligava os seis locais. Para tal, adotou o método seguinte.

Representou a primeira aresta do grafo, correspondente à menor das distâncias entre os seis locais, e, em seguida, representou as restantes arestas, selecionando sucessivamente as menores distâncias.

Garantiu que três arestas não se encontrassem num mesmo vértice e que não se fechassem percursos sem que todos os vértices estivessem incluídos.

Apresente um possível percurso definido pela Leonor para a sua caminhada.

Na sua resposta, apresente:

as distâncias em falta no grafo apresentado na Figura 2, indicando a que arestas se referem;

um novo grafo, semelhante ao que a Leonor terá construído.

Distâncias em falta no grafo da Figura 2:

•

m

•

m

•

m

•

m

•

m

Numa praia do Algarve, uma empresa aluga equipamento para a prática de windsurf.

Quando devolvem o equipamento alugado, os clientes recebem um código que lhes permite avaliar a experiência, uma única vez, no sítio da empresa na Internet. Para o efeito, atribuem à experiência de uma a cinco estrelas, significando uma estrela que a experiência foi pouco gratificante, e cinco estrelas que a experiência foi extremamente gratificante.

Dos clientes que avaliaram a experiência até $t$ meses após o início do ano de 2022, a percentagem, $E$, dos que lhe atribuíram, pelo menos, 4 estrelas é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às décimas.

$$E(t) = \frac{84}{1 + 11e^{-0,2t}} \quad (t \ge 0)$$

Por exemplo, a percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência até ao início de fevereiro de 2022 é igual a 8,4%, pois $E(1) = 8,3949\dots$

5.1.

Admita que 600 clientes tinham avaliado a experiência até ao início de março de 2022.

Quantos destes clientes lhe atribuíram, pelo menos, 4 estrelas?

()

5.3.

A evolução da percentagem de clientes que, no sítio da empresa na Internet, atribuíram 3 estrelas à experiência, até $t$ meses após o início do ano de 2022, pode ser modelada por uma função, $N$, cuja representação gráfica é apresentada na Figura 4.

Considerando-se a percentagem, $E$, dos clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas e a percentagem, $N$, dos clientes que atribuíram 3 estrelas à experiência, verifica-se que $E(4{,}25) = N(4{,}25)$.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Nos primeiros dois anos, a percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência é

.

No início do ano de 2022, a percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência era

à percentagem de clientes que lhe atribuíram 3 estrelas, verificando-se que o contrário ocorreu pela primeira vez no decorrer do mês de

de 2022.

Com o passar do tempo, a percentagem de clientes que atribuíram, no máximo, 2 estrelas à experiência tende para

.

Numa praia do Algarve, uma empresa aluga equipamento para a prática de windsurf.

Quando devolvem o equipamento alugado, os clientes recebem um código que lhes permite avaliar a experiência, uma única vez, no sítio da empresa na Internet. Para o efeito, atribuem à experiência de uma a cinco estrelas, significando uma estrela que a experiência foi pouco gratificante, e cinco estrelas que a experiência foi extremamente gratificante.

Dos clientes que avaliaram a experiência até $t$ meses após o início do ano de 2022, a percentagem, $E$, dos que lhe atribuíram, pelo menos, 4 estrelas é bem aproximada pelo modelo seguinte, com arredondamento às décimas.

$$E(t) = \frac{84}{1 + 11e^{-0,2t}} \quad (t \ge 0)$$

Por exemplo, a percentagem de clientes que atribuíram, pelo menos, 4 estrelas à experiência até ao início de fevereiro de 2022 é igual a 8,4%, pois $E(1) = 8,3949\dots$

5.2. No sítio da empresa na Internet, é apresentado um quadro com o resultado das avaliações realizadas até ao momento, que é atualizado sempre que alguém realiza uma nova avaliação.

Num determinado momento, o quadro foi atualizado, passando a apresentar os valores registados na Tabela 3.

Tabela 3 Número de estrelas atribuídas · Número de clientes

★ · 50

★★ · 150

★★★ · 200

★★★★ · 770

★★★★★ · 430

Indique o mês e o ano em que ocorreu esta atualização.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

o(s) gráfico(s) visualizado(s);

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às décimas.

1.

2.

3.

Numa praia frequentada pela Leonor, é possível realizar passeios de gaivota, de canoa ou de barco.

Na Figura 5, apresenta-se a informação recolhida junto de 400 pessoas que realizaram, cada uma, apenas um dos passeios referidos e que tinham idades compreendidas entre os 18 e os 49 anos.

Item 6.1

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

O número de pessoas que realizaram passeios com duração superior a duas horas foi

.

Dos passeios com duração inferior ou igual a uma hora, o que registou o maior número de pessoas foi o passeio de

.

No que respeita às pessoas que realizaram um passeio de barco, verifica-se que a mediana das suas idades pertence à classe

,

e que a percentagem das que têm idade inferior a 34 anos é igual a

.

Item 6.2

De acordo com os dados apresentados na Figura 5 e mantendo as classes utilizadas, foi construída uma tabela de frequências relativas acumuladas para a idade das 400 pessoas.

Qual é o valor da frequência relativa acumulada da classe [26, 34[?

Numa praia frequentada pela Leonor, é possível realizar passeios de gaivota, de canoa ou de barco.

Na Figura 5, apresenta-se a informação recolhida junto de 400 pessoas que realizaram, cada uma, apenas um dos passeios referidos e que tinham idades compreendidas entre os 18 e os 49 anos.

Considere que as idades se distribuem uniformemente em cada uma das classes etárias apresentadas na Figura 5.

Às 200 pessoas que realizaram um passeio de gaivota, cujas idades são apresentadas na Figura 5, juntou-se um grupo de 24 pessoas (Grupo A), todas da mesma idade, que realizaram o mesmo tipo de passeio.

Estima-se que a média das idades destas 224 pessoas é 30 anos.

A que classe etária, das indicadas na Figura 5, pertence a idade de cada uma das pessoas do Grupo A? Justifique a sua resposta.

Em várias praias, umas da região do Algarve e outras da região Norte, inquiriu-se um conjunto de pessoas que saíam da praia acerca do tempo que estiveram dentro de água da última vez que foram ao banho.

A Tabela 4, parcialmente preenchida, apresenta os dados referentes às 4200 pessoas que referiram ter estado menos de 15 minutos dentro de água da última vez que foram ao banho.

7.1. Escolhem-se, ao acaso, dois dos menores de idade cujas respostas estão registadas na Tabela 4.

Determine a probabilidade de ambos terem sido inquiridos em praias da mesma região.

Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às décimas.

Em várias praias, umas da região do Algarve e outras da região Norte, inquiriu-se um conjunto de pessoas que saíam da praia acerca do tempo que estiveram dentro de água da última vez que foram ao banho.

A Tabela 4, parcialmente preenchida, apresenta os dados referentes às 4200 pessoas que referiram ter estado menos de 15 minutos dentro de água da última vez que foram ao banho.

7.2. Admita que, nas praias da região do Algarve, foram inquiridas $100\,000$ pessoas, e que a variável aleatória «tempo, em minutos, que as pessoas, inquiridas nas praias do Algarve, estiveram dentro de água da última vez que foram ao banho» é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio $20$ minutos e desvio padrão $2{,}5$ minutos.

Seleciona-se, ao acaso, um dos maiores de idade mencionados na Tabela 4.

Determine a probabilidade de essa pessoa ter sido inquirida numa praia da região do Algarve.

Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às centésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.

Sugestão: Comece por determinar o número de pessoas inquiridas em praias da região do Algarve que referiram ter estado menos de 15 minutos dentro de água da última vez que foram ao banho.

8. Numa das praias da região do Algarve, inquiriram-se 1600 pessoas relativamente ao tempo despendido, em minutos, na deslocação entre o seu alojamento e a praia.

Na Tabela 5, apresentam-se os dados recolhidos.

Tabela 5

Tempo, em minutos · $]0, 15]$ · $]15, 30]$ · $]30, 45]$ · $]45, 60]$

N.º de pessoas · 350 · 850 · 180 · 220

Recorrendo aos dados da Tabela 5, construa um intervalo de confiança a 99% para a proporção de pessoas que, na deslocação entre o seu alojamento e a praia, despenderam, no máximo, 30 minutos.

Apresente os valores dos extremos do intervalo arredondados às centésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve quatro casas decimais.

$] hinspace$ $; hinspace$ $hinspace[$