Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2025 · Época especial

As plataformas de Inteligência Artificial (IA) estão cada vez mais presentes no nosso quotidiano, oferecendo uma grande diversidade de recursos.

1. Na escola de Avelares, realizou-se um estudo, junto dos seus 580 alunos, com o intuito de saber qual a plataforma de IA que preferiam, de entre as plataformas ArtificialThings (A), BeArtificial (B), CallArtificial (C) e DoArtificial (D).

Ao votar, cada aluno devia preencher um boletim, no qual ordenaria as quatro plataformas, A, B, C e D, de acordo com as suas preferências. Cada boletim preenchido com uma certa ordenação corresponde a 1 voto.

Terminada a votação, verificou-se que foram apurados 406 votos validamente expressos e que, além disso, foram registados 29 votos em branco ou nulos.

1.1.

Qual foi a taxa de abstenção neste ato eleitoral?

1.2.

Na Tabela 1, encontram-se organizados os resultados desta votação.

A plataforma de IA que reúne a preferência da maioria dos alunos foi apurada através da aplicação do método a seguir descrito.

São atribuídos pontos a cada uma das plataformas, em função do seu lugar na ordem de preferências.

Cada plataforma recebe:

quatro pontos por cada voto na primeira preferência;

três pontos por cada voto na segunda preferência;

dois pontos por cada voto na terceira preferência;

um ponto por cada voto na quarta preferência.

Contabiliza-se a pontuação total de cada uma das plataformas, e a mais pontuada é considerada a plataforma preferida pelos alunos da escola.

Em caso de empate, a tabela de preferências é reestruturada, contemplando-se, em cada coluna, apenas as plataformas empatadas, que ocuparão a primeira e a segunda preferências, mantendo-se a mesma ordem. A plataforma preferida pelos alunos da escola é a que obtiver maior número de votos na primeira preferência.

Mostre que a plataforma preferida pelos alunos da escola, por aplicação do método descrito, não foi a que obteve maior número de votos na primeira preferência.

Na sua resposta, apresente:

a pontuação total obtida por cada plataforma, por aplicação do método descrito;

o número de votos obtido por cada plataforma na primeira preferência.

Pontuação total obtida por cada plataforma:

Número de votos obtido por cada plataforma na primeira preferência:

Conclusão / Justificação:

2. Na escola de Avelares, um grupo de alunos ficou responsável pela supervisão de uma exposição.

O horário de funcionamento da exposição foi dividido em blocos horários, B1, B2, B3,..., com duração variada.

Ficou estabelecido que:

em cada um dos blocos horários, seria suficiente a presença de um aluno;

um aluno poderia assegurar mais do que um bloco horário;

um bloco horário poderia ser repartido por dois alunos.

A Joana e a Rita, duas alunas do grupo, ficaram responsáveis pelos blocos B1, B2 e B3. Para dividirem os três blocos, de um modo que ambas considerassem justo, resolveram aplicar o método a seguir descrito.

Cada uma das alunas atribui, secretamente, um certo número de pontos a cada um dos três blocos, num total de 100 pontos.

Cada bloco é destinado, temporariamente, à aluna que mais o valoriza.

Determina-se, para cada uma das alunas, o total temporário de pontos do(s) bloco(s) que lhe foram temporariamente destinado(s).

Se o total temporário de pontos for igual, a partilha está concluída. Caso contrário, procede-se ao ajuste da partilha, de modo que o número total de pontos das duas alunas passe a ser igual, através da partilha de um dos blocos.

Para se efetuar o ajuste da partilha, o bloco a repartir pelas alunas será um dos blocos temporariamente destinados à aluna que obteve um total temporário de pontos mais elevado. No caso de haver mais de um bloco, dever-se-á repartir aquele cuja diferença de pontos atribuídos pelas alunas seja menor.

Seja A a aluna cujo total temporário de pontos é mais elevado, e seja B a outra aluna.

O total final de pontos a atribuir à aluna A corresponde à diferença entre o total temporário dos pontos dos seus blocos e $x$ por cento dos pontos por ela atribuídos ao bloco a repartir.

O total final de pontos a atribuir à aluna B corresponde à soma do total temporário dos pontos dos seus blocos com $x$ por cento dos pontos por ela atribuídos ao bloco a repartir.

Igualam-se os dois totais finais, de modo a determinar o valor de $x$, com o qual a partilha ficará equilibrada.

A aluna B fica com o(s) bloco(s) a si destinado(s) e $x$ por cento do bloco a repartir, e a aluna A fica com o restante.

Na Tabela 2, apresenta-se o número de pontos atribuídos a cada um dos blocos pelas duas alunas.

Tabela 2

B1

B2

B3

Joana

44

33

23

Rita

46

40

14

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

A cada espaço corresponde uma só opção.

O bloco horário mais valorizado pela Joana e pela Rita foi o bloco

. O total de pontos do(s) bloco(s) horário(s) temporariamente destinado(s) à Rita foi

. Depois da partilha concluída, o bloco horário

foi repartido entre as duas alunas, ficando a Joana com a responsabilidade de assegurar

do mesmo.

3. O João quer subscrever o serviço Premium de uma plataforma de IA, durante um período de 18 meses, e está indeciso entre a plataforma A e a plataforma B. De modo a selecionar a opção mais económica, determinou o custo de diversas alternativas: subscrever apenas a plataforma A ou apenas a plataforma B, durante 18 meses; ou subscrever ambas as plataformas, em períodos de tempo diferentes, perfazendo, no total, 18 meses.

Na Tabela 3, apresenta-se o preçário do serviço Premium de cada uma das duas plataformas de IA, em função do tempo de subscrição.

Tabela 3

Plataforma A

O valor total a pagar pelo período de subscrição, em euros, tem em conta que:

– a taxa de subscrição, independentemente da duração do contrato, é 5 euros;

– o preço por trimestre é 8 euros.

Só é possível subscrever esta plataforma por períodos trimestrais.

Plataforma B

O valor total a pagar pelo período de subscrição, em euros, é obtido arredondando às unidades o valor que é dado pela expressão:

$$V(t) = 30 - 22 \times e^{-0{,}2t}$$

em que $t$ é o número de meses contratados, que pode variar entre 1 e 12.

Para períodos de subscrição inferiores ou iguais a 12 meses, realiza-se uma única subscrição do número de meses pretendido.

Para períodos de subscrição superiores a 12 meses, realizam-se várias subscrições, podendo apenas o número de meses contratados ser inferior a 12 na última subscrição. O valor a pagar é igual à soma dos valores das várias subscrições.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Se o João subscrever apenas a plataforma A para os 18 meses, o valor a pagar será

euros. Se subscrever apenas a plataforma B para os 18 meses, fazendo para isso duas subscrições, terá de pagar

euros.

Admita que o João opta por subscrever ambas as plataformas, subscrevendo cada uma delas uma única vez. Se subscrever a plataforma A por três trimestres e a plataforma B pelo tempo restante, terá de pagar

euros.

O João concluiu que a solução mais económica passa por subscrever uma das plataformas durante 12 meses e, nos restantes meses, subscrever a outra, tendo de pagar um total de

euros pelas subscrições nas duas plataformas.

4. Uma empresa pretende instalar cabo de fibra ótica para interligar seis departamentos: D1, D2, D3, D4, D5 e D6.

Na Tabela 4, encontram-se registadas as distâncias mínimas, em metros, que serviram de base para o projeto de instalação do cabo de fibra ótica entre os departamentos.

Tabela 4

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D1

136

190

80

D2

136

146

160

54

D3

190

140

51

D4

146

140

43

145

D5

160

43

D6

80

54

51

145

De modo a minimizar o custo da instalação do cabo de fibra ótica, aplicou-se o método a seguir descrito.

Escolhe-se, ao acaso, um dos seis departamentos e seleciona-se a menor das distâncias entre esse departamento e os restantes.

Ficam assim escolhidos dois departamentos.

Seleciona-se a menor das distâncias entre qualquer um dos dois departamentos escolhidos e um departamento ainda não escolhido.

Seleciona-se a menor das distâncias entre qualquer um dos departamentos escolhidos e um departamento ainda não escolhido.

Repete-se o ponto anterior até todos os departamentos terem sido selecionados.

Determine o comprimento mínimo, em metros, de cabo de fibra ótica que é necessário instalar.

Na sua resposta, apresente um grafo que resulte da aplicação do método descrito e que permita identificar as distâncias selecionadas.

5. Duas plataformas de IA, a ArtificialThings e a BeArtificial, monitorizam o número de utilizadores em Avelares.

De 1 de janeiro de 2023 até 1 de junho de 2024, o número aproximado de utilizadores das duas plataformas, ArtificialThings e BeArtificial, em centenas, em Avelares, é dado, respetivamente, pelas expressões

$$A(t) = 2\,e^{0,18t} \qquad \text{e} \qquad B(t) = 3\,e^{0,12t}$$

em que $t$ representa o número de meses após o dia 1 de janeiro de 2023.

Item 5.1

Em qual dos intervalos de tempo foi mais acentuado o crescimento do número de utilizadores da ArtificialThings em Avelares, no ano de 2023?

Item 5.3

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Selecione para cada um dos espaços I, II, III e IV a opção correspondente ( a, b ou c).

O número de utilizadores da BeArtificial em Avelares

no intervalo de tempo considerado, sendo, no início do ano de 2023, igual a

centenas. O número de utilizadores das duas plataformas foi igual num determinado momento do mês de

. No início do ano de 2024, a diferença entre o número de utilizadores das duas plataformas situava-se entre

utilizadores.

5. Duas plataformas de IA, a ArtificialThings e a BeArtificial, monitorizam o número de utilizadores em Avelares.

De 1 de janeiro de 2023 até 1 de junho de 2024, o número aproximado de utilizadores das duas plataformas, ArtificialThings e BeArtificial, em centenas, em Avelares, é dado, respetivamente, pelas expressões

$$A(t) = 2\,e^{0,18t} \qquad \text{e} \qquad B(t) = 3\,e^{0,12t}$$

em que $t$ representa o número de meses após o dia 1 de janeiro de 2023.

Determine quantos dias foram necessários para que o número de utilizadores da ArtificialThings em Avelares passasse de 700 para 1350 utilizadores.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Admita que cada mês tem 30 dias.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

o(s) gráfico(s) visualizado(s);

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

1.

2.

3.

dias

4.

6. Durante a realização de um estudo estatístico, os participantes nesse estudo foram divididos em grupos. Nos diagramas de caule-e-folhas apresentados na Figura 1, estão registadas as idades, em anos, dos participantes integrados no Grupo A e no Grupo B. Nos diagramas, o algarismo das dezenas de cada registo é apresentado no caule, e o algarismo das unidades é apresentado nas folhas.

6.1.

Considere apenas os participantes integrados no Grupo A.

Quantos têm idade pertencente ao intervalo $]\bar{x} - s, \bar{x} + s[$?

6.2.

Construa um diagrama de extremos e quartis que traduza os dados referentes à idade, em anos, dos 22 participantes integrados no Grupo A e no Grupo B.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades da sua calculadora e apresente a(s) lista(s) utilizada(s).

7. As plataformas de IA são utilizadas como ferramenta de trabalho para a realização de diversas tarefas. A um conjunto de pessoas foi proposta a realização de uma tarefa, durante a qual poderiam aceder a plataformas de IA. Concluída a tarefa, registou-se o número de vezes, $V$, que cada uma das pessoas acedeu a plataformas de IA. Os dados recolhidos foram, posteriormente, agrupados nas classes $[0, 5[$, $[5, 10[$,..., $[25, 30[$.

Na Tabela 5, estão parcialmente registados esses dados.

Tabela 5

$V$

$n_i$

$N_i$

$fr_i$

$Fr_i$

$[0, 5[$

$3$

$0{,}02$

$[5, 10[$

$12$

$p$

$[10, 15[$

$3$

$q$

$[15, 20[$

$0{,}94$

$[20, 25[$

$r$

$[25, 30[$

$3$

$1$

Legenda:

$n_i$ – frequência absoluta simples

$N_i$ – frequência absoluta acumulada

$fr_i$ – frequência relativa simples

$Fr_i$ – frequência relativa acumulada

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

O valor de $p$ é

,

o valor de $q$ é

e o valor de $r$ é

.

No total, integraram este estudo

pessoas.

8. O José utiliza diversas plataformas de IA como ferramenta de trabalho.

8.1. Admita que, quando o José realiza trabalhos de investigação, em 20% dos casos recorre a plataformas de IA, sendo a utilização de IA em cada trabalho independente do sucedido nos trabalhos anteriores.

Considere que o José realizou quatro trabalhos de investigação.

Determine a probabilidade de o José recorrer a plataformas de IA em exatamente três desses quatro trabalhos.

8. O José utiliza diversas plataformas de IA como ferramenta de trabalho.

8.2.

Uma das plataformas que o José utiliza é a ElseIntelligence, à qual acede em 10% das vezes em que recorre a uma plataforma de IA.

Depois de uma análise às respostas dadas pelas diferentes plataformas de IA às perguntas formuladas, foi possível apurar que:

se a plataforma usada for a ElseIntelligence, a resposta está correta em 90% dos casos;

se a plataforma usada for outra que não a ElseIntelligence, a resposta está correta em 95% dos casos.

O José formulou uma pergunta numa plataforma de IA, e a resposta obtida estava correta.

Determine a probabilidade de o José ter formulado a pergunta na plataforma ElseIntelligence.

Apresente a resposta na forma de fração irredutível.

9. Uma aluna que utiliza regularmente a plataforma ArtificialThings leu num artigo de jornal que a proporção de respostas incorretas dadas às perguntas formuladas nessa plataforma era de $30\%$.

Com vista a analisar a veracidade da afirmação, a aluna pediu a 250 utilizadores da plataforma de IA, escolhidos de forma aleatória, que formulassem uma questão nessa plataforma e posteriormente confirmassem a veracidade da resposta recebida. Destes, 50 confirmaram que a resposta à sua questão estava incorreta. Depois, construiu um intervalo de confiança a $99\%$ para a proporção de respostas incorretas.

Haverá ou não razão para a aluna duvidar da publicação do jornal? Conclua, construindo um intervalo de confiança nas mesmas condições do que foi construído pela aluna.

Na sua resposta, apresente os extremos do intervalo de confiança arredondados às centésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.