Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2021 · 2.ª fase

1. O Erasmus+ é o programa europeu que apoia a educação, a formação, a juventude e o desporto e que facilita a mobilidade académica de estudantes europeus através do mundo inteiro.

Numa universidade, realizou-se um estudo com o objetivo de aferir qual seria a cidade preferida, de entre Barcelona (B), Cracóvia (C), Praga (P) e Roma (R), para fazer Erasmus+.

Foram selecionados alguns estudantes que preencheram um boletim, no qual ordenaram as quatro cidades, de acordo com as suas preferências. Cada boletim preenchido, com uma determinada ordenação, correspondia a 1 voto.

Na Tabela 1, encontram-se parcialmente organizados os resultados da votação, em que $X$ representa o número de votos na lista de preferências que apresentava Cracóvia como primeira preferência, Barcelona como segunda, Roma como terceira e Praga como quarta.

Concluída a votação, o apuramento da cidade vencedora resultou do método a seguir descrito.

Seleciona-se um par de cidades e atribui-se o número de votos registados em cada coluna à cidade mais bem posicionada, de entre as duas selecionadas.

Comparam-se os votos obtidos por essas duas cidades. A cidade com o maior número de votos é a vencedora do par escolhido.

Repetem-se os procedimentos anteriores até uma das cidades ter vencido em todas as comparações com as restantes. Essa cidade é a vencedora.

Verificou-se que Barcelona (B), tendo vencido em todas as comparações, foi a cidade vencedora depois de aplicado o método descrito aos votos apresentados na Tabela 1.

Indique o valor mínimo e o valor máximo que $X$ pode representar.

Na sua resposta, apresente todos os cálculos que efetuar.

Na universidade, realiza-se anualmente um congresso para o qual são convidados 10 alunos que divulgam o programa Erasmus+.

Em 2019, os convites foram distribuídos entre os quatro grupos de alunos que fizeram Erasmus+ nas cidades de Barcelona (grupo B), Cracóvia (grupo C), Praga (grupo P) e Roma (grupo R).

Para definir o número de convites a atribuir a cada grupo de alunos, foi considerado o número de alunos de cada grupo e foi aplicado o método que a seguir se descreve.

Divide-se o número de alunos de cada grupo sucessivamente por 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Ordenam-se todos os quocientes obtidos, arredondados às décimas, pela ordem decrescente da sua grandeza, numa série de tantos termos quantos os convites a atribuir. Caso existam quocientes iguais, o quociente do grupo com menor número de alunos deverá ficar primeiro do que o outro.

Atribuem-se os convites ao grupo a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada um dos grupos tantos convites quantos os seus termos na série.

Na Tabela 2, indica-se a distribuição, por cada grupo, dos 2500 alunos que fizeram Erasmus+, em 2019, nas cidades indicadas.

Tabela 2 Grupo · B · C · P · R

Número de alunos · 430 · 1020 · 850 · 200

Depois de conhecidos os resultados, um dos organizadores do congresso afirmou que a distribuição do número de convites seria diferente se estes tivessem sido atribuídos na proporção direta do número de alunos de cada grupo, com arredondamento às unidades.

Aplicando este método, ao grupo B, por exemplo, seriam atribuídos dois convites, uma vez que $\frac{430}{2500} \times 10 = 1{,}72$.

Mostre que a adoção do segundo método proposto seria vantajosa unicamente para o grupo R.

Na sua resposta, apresente o número de convites a atribuir a cada grupo, utilizando cada um dos dois métodos apresentados.

1.º Método (Método de Hondt)

Indique o número de convites atribuídos a cada grupo pelo método de Hondt:

2.º Método (Proporcionalidade direta com arredondamento)

Indique o número de convites atribuídos a cada grupo pelo segundo método:

3. Na Figura 1, apresenta-se um esquema de um anfiteatro, de forma aproximadamente circular, cujo palco, também circular, está inserido no centro da plateia. O anfiteatro está dividido em duas partes iguais, a metade Oeste, representada a cinzento, e a metade Este, representada a branco.

Neste anfiteatro, decorreu um espetáculo com a lotação esgotada.

Admita que os bilhetes dos lugares da metade Oeste do anfiteatro foram vendidos a um quarto do valor dos bilhetes da metade Este.

Em cada uma das opções seguintes, está realçado um sector circular AOB, que corresponde a uma parte do anfiteatro.

Em qual das opções está representado o sector circular AOB que permite obter maior receita de bilheteira?

Num campus universitário, pretende-se instalar uma iluminação decorativa, constituída por um fio de luzes suspenso entre seis edifícios, E1, E2, E3, E4, E5 e E6.

A Tabela 3 apresenta o comprimento previsto, em metros, do fio de luzes que seria necessário instalar entre cada par de edifícios.

Tabela 3 · E1 · E2 · E3 · E4 · E5 · E6

E1 · · 1550 · 850 · 1420 · 1260 · 560

E2 · 1550 · · 1000 · 320 · 340 · 1250

E3 · 850 · 1000 · · 810 · 820 · 300

E4 · 1420 · 320 · 810 · · 350 · 1050

E5 · 1260 · 340 · 820 · 350 · · 1050

E6 · 560 · 1250 · 300 · 1050 · 1050

De modo a minimizar o custo da instalação da iluminação decorativa, construiu-se um grafo que resulta do método que a seguir se descreve.

Escolhe-se, ao acaso, um dos seis edifícios e, de seguida, de entre os restantes, seleciona-se aquele que, por se encontrar a uma menor distância do primeiro, implique um menor comprimento do fio de luzes previsto.

Seleciona-se outro edifício que ainda não tenha sido escolhido e que, por se encontrar a uma menor distância dos edifícios anteriormente escolhidos, implique um menor comprimento do fio de luzes previsto.

Repete-se o ponto anterior até todos os edifícios terem sido selecionados.

Admita que a instalação da iluminação decorativa terá um custo de 3,5 euros por cada metro de fio de luzes previsto.

Determine o custo total desta instalação.

Na sua resposta, apresente:

um grafo ponderado que resulte da aplicação do método descrito;

o comprimento mínimo previsto, em metros, do fio de luzes a instalar.

O número aproximado de alunos estrangeiros inscritos na faculdade F1, $t$ anos após o início do ano de 2000, é dado, arredondando às unidades o valor obtido, pela expressão

$$E(t) = \frac{2500}{1 + 15e^{-0,27t}} \qquad (t = 0, 1, 2, \dots, 15)$$

Assim, por exemplo, o número aproximado de alunos estrangeiros inscritos nesta faculdade, dois anos após o início do ano de 2000, é 257, pois $E(2) = 256,64126\dots$

5.1. Comparando o número de alunos estrangeiros inscritos na faculdade $F1$ no início de 2004 com o número de alunos estrangeiros inscritos na faculdade $F1$ no início de 2007, concluiu-se que este triplicou.

Indique, justificando, se a afirmação é verdadeira.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

O número aproximado de alunos estrangeiros inscritos na faculdade F1, $t$ anos após o início do ano de 2000, é dado, arredondando às unidades o valor obtido, pela expressão

$$E(t) = \frac{2500}{1 + 15e^{-0,27t}} \qquad (t = 0, 1, 2, \dots, 15)$$

Assim, por exemplo, o número aproximado de alunos estrangeiros inscritos nesta faculdade, dois anos após o início do ano de 2000, é 257, pois $E(2) = 256,64126\dots$

5.2. Na faculdade $F2$, o número aproximado de alunos estrangeiros inscritos, $t$ anos após o início do ano de 2000, é dado, arredondando às unidades o valor obtido, pela expressão

$$N(t) = 200e^{0,16t} \quad (t = 0, 1, 2, \dots, 15)$$

Durante quantos anos o número de alunos estrangeiros inscritos, no início de cada ano, na faculdade $F1$ foi superior ao número de alunos estrangeiros inscritos, no início de cada ano, na faculdade $F2$?

Para responder a esta questão, recorra às capacidades gráficas da sua calculadora e apresente:

o(s) gráfico(s) visualizado(s);

as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s), com arredondamento às centésimas.

(

;

)

(

;

)

No Gráfico 1, está parcialmente apresentada, em percentagem, a taxa de utilização da cantina pelos alunos inscritos numa universidade, em cada um dos meses do ano de 2019, em que $a$ e $b$ representam a taxa correspondente ao mês 5 e ao mês 8, respetivamente.

6.1. No mês 6, frequentaram a cantina 1016 alunos.

No mês 7, o número de alunos que frequentaram a cantina diminuiu, aproximadamente, $x\,\%$ relativamente ao número de alunos que a frequentaram no mês anterior.

Qual é o valor de $x$, com arredondamento às unidades?

()

No Gráfico 1, está parcialmente apresentada, em percentagem, a taxa de utilização da cantina pelos alunos inscritos numa universidade, em cada um dos meses do ano de 2019, em que $a$ e $b$ representam a taxa correspondente ao mês 5 e ao mês 8, respetivamente.

6.2. Admita que a mediana dos dados recolhidos, relativos à taxa de utilização da cantina ao longo dos meses do ano de 2019, é $14{,}9\%$.

Determine o valor de $a$.

7. O Francisco recorreu a um crédito no valor de 10 500 euros para adquirir um automóvel.

As condições oferecidas pela instituição bancária foram as seguintes:

prazo contratado de 60 meses;

prestação mensal, constante, no valor de 280 euros.

Uma parte do valor de cada uma das 60 prestações é utilizada no pagamento dos juros. Essa parte varia em função do número da prestação.

Admita que, nas primeiras 24 prestações, 60% do valor da prestação corresponde a juros e que, nas 24 prestações seguintes, 25% do valor da prestação corresponde a juros.

Depois de pagar 48 prestações, qual é o valor total de juros que o Francisco ainda tem de pagar até ao final do empréstimo?

€

8. Dos alunos de uma universidade que participaram no programa Erasmus+, sabe-se que:

40% dos que ficaram alojados numa residência universitária não ficaram colocados na primeira cidade que selecionaram;

18% ficaram colocados na primeira cidade que selecionaram e ficaram alojados numa residência universitária.

Escolheu-se, ao acaso, um destes alunos.

Determine a probabilidade de este aluno ter ficado alojado numa residência universitária.

Apresente o resultado na forma de dízima.

9. Foram escolhidos, ao acaso, 110 alunos universitários que participaram no programa Erasmus+ num único semestre.

No Gráfico 2, estão representados os dados referentes ao sexo e ao semestre de participação desses alunos.

9.1.

Escolhendo, ao acaso, um destes alunos, qual é a probabilidade de o aluno ter participado no programa Erasmus+ no segundo semestre, sabendo-se que é do sexo masculino?

()

9.2.

Escolhem-se, ao acaso, três alunos, sempre um a seguir ao outro.

Determine a probabilidade de apenas um deles ter participado no segundo semestre e ser do sexo feminino.

Apresente o resultado na forma de dízima, com arredondamento às centésimas.

9. Foram escolhidos, ao acaso, 110 alunos universitários que participaram no programa Erasmus+ num único semestre.

No Gráfico 2, estão representados os dados referentes ao sexo e ao semestre de participação desses alunos.

9.3.

Admita que a média da nota de candidatura dos alunos que participaram no programa Erasmus+ no primeiro semestre foi 15,65 valores e que a média da nota de candidatura dos alunos que participaram no programa Erasmus+ no segundo semestre foi 14,22 valores.

Determine a média da nota de candidatura destes 110 alunos universitários.

Apresente o resultado na forma de dízima.

Dos alunos que participaram no programa Erasmus+ em 2019, foram selecionados aleatoriamente 324, tendo-se apurado que a média das suas idades era 20,16 anos, com um desvio padrão de 21 meses.

Construa um intervalo de confiança a 99% para a idade média, em anos, dos alunos que participaram no programa Erasmus+ em 2019.

Apresente os extremos do intervalo de confiança, com arredondamento às centésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.