Examen de Matemáticas II PAU Asturias 2025 · Extraordinaria

Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ -3 & 2 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

(a)

(0.75 puntos) Encuentre todos los valores de $a$ para los cuales el sistema de ecuaciones homogéneo $AX = [0]$ tiene infinitas soluciones. ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema no tenga solución? Razone sus respuestas.

(b)

(0.75 puntos) Suponiendo que $A$ es la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas. Calcule los valores de $a$ para los cuales el sistema tiene solución.

(c)

(1 punto) Resuelva el sistema homogéneo del apartado (a), para el valor de $a = 0$.

Una matriz $M$ verifica que $\det(M) = x$. (Los apartados siguientes son independientes.) Se pide:

(a)

[1 punto] Supongamos que la matriz $M$ tiene $2$ filas y $2$ columnas, y que $M^2 = (x - 1)I$, siendo $I$ la matriz identidad. Calcule todos los valores de $x \in \mathbb{R}$.

(b)

[0,75 puntos] Supongamos ahora que la matriz $M$ tiene $3$ filas y $3$ columnas. Estudie si existe algún valor de $x$ para el que pueda ser$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & x \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Sí

No

(c)

[0,75 puntos] Supongamos ahora que el tamaño de $M$ es $3 \times 3$, que $x \neq 0$ y que $M = xM^2$. Calcule los posibles valores de $x$ y $\det(M^{-1})$ para cada uno de ellos.

Un depósito tiene una tubería de entrada de agua y un grifo. Se estudia la cantidad de agua del depósito en cada instante t a lo largo de 4 horas, teniendo en cuenta que en ocasiones se descarga por la apertura del grifo. Se observa que la cantidad de agua viene dada por la función: $f(t) = 2\cos(t + \pi/2) + 10$, donde $t \in [0, 4]$. Se pide:

(a)

(1 punto) Calcular los máximos y mínimos de la función.

(b)

(0.75 puntos) Demostrar que el depósito no se vacía nunca.

(c)

(0.75 puntos) Deducir durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas.

Pregunta 2. Opción B

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado $x$ y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados $x$ e $y$, como la figura. Si se quiere utilizar $3\text{ m}^2$ de material, calcule los valores de $x$ e $y$ para que la capacidad de la caja sea máxima.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

(a)

[1,25 puntos] Una primitiva de la función $f$ que en $0$ valga $1$.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

(b)

[1,25 puntos] Calcular el área encerrada entre la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

Pregunta 3. Opción B Se sabe que la función $G(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + 5$ es una primitiva de una función $g$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ son valores desconocidos, pero constantes. Se pide:

(a)

[1 punto] Determinar la función $g(x)$ en función de los parámetros $a$ y $b$.

(b)

[0,5 puntos] ¿Podría dar la forma de todas las primitivas de $g$ en función de una constante $K$?

(c)

[1 punto] Sabiendo que $g(1) = 2$ y $g(0) = 1$, determinar la función $g$.

Se considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases}$$ y el plano $\pi \equiv 2x + y + \beta z = 3$.

Pregunta 4. Opción A Se consideran los puntos $A(1, 1, 1)$ y $B(-1, 1, 3)$. Se pide:

(a)

[1 punto] Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$ y es perpendicular a la recta que los contiene.

(b)

[1 punto] Calcule las distancias de $A$ y $B$ al plano $\pi$.

(c)

[0,5 puntos] Tome un punto cualquiera del plano $\pi$, distinto del calculado en el apartado (a). Calcule su distancia a $A$ y a $B$ y compruebe que es la misma.

Se considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases}$$ y el plano $\pi \equiv 2x + y + \beta z = 3$.

Se pide:

(a)

(0.75 puntos) Calcular, en caso de que exista, el valor de $\beta \in \mathbb{R}$ que hace que $r$ y $\pi$ sean paralelos.

(b)

(0.75 puntos) Calcular, en caso de que exista, el valor de $\beta$ para que el plano y la recta sean perpendiculares.

Se considera la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases}$$ y el plano $\pi \equiv 2x + y + \beta z = 3$.

Se pide:

(c)

(1 punto) Para $\beta = 0$, calcular el simétrico del punto $(-1, 0, 1)$ respecto del plano $\pi$.

$x =$

$y =$

$z =$

Pregunta 5. Opción A Supongamos que tenemos en un monedero 5 monedas de 1 euro, 3 de 2 euros y 2 de 10 céntimos.

(a)

(1.25 puntos) Si sacamos 3 monedas al azar del monedero ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea de 1 euro?

(b)

(1.25 puntos) Sacamos dos monedas una tras otra (sin reemplazamiento) ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea de 10 céntimos?

Pregunta 5. Opción B La esperanza de vida de un elefante sigue una distribución normal de media 82 años y desviación típica 30.

(a)

(0.75 puntos) ¿Qué porcentaje de población de elefantes se espera que viva más de 100 años?

%

(b)

(0.75 puntos) Si se toma una muestra de 4 elefantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno supere los 100 años de vida?

(c)

(1 punto) Calcula un valor $a \in \mathbb{R}$ que haga que el $98\,\%$ de los elefantes tengan una esperanza de vida menor o igual que $82 + a$.

* Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \le x)$, $F(0) = 0.5$, $F(0.15) = 0.6$, $F(0.6) = 0.7257$, $F(2.06) = 0.98$, $F(0.98) = 0.8365$.

Si tus valores no están entre los expuestos, toma el más cercano.