Pregunta 2. Opción A · Matemáticas II PAU Asturias Extraordinaria 2025

Tema: Derivadas: estudio y representación de funciones · Del examen Extraordinaria (2025)

Enunciado

Un depósito tiene una tubería de entrada de agua y un grifo. Se estudia la cantidad de agua del depósito en cada instante t a lo largo de 4 horas, teniendo en cuenta que en ocasiones se descarga por la apertura del grifo. Se observa que la cantidad de agua viene dada por la función: f(t)=2cos⁡(t+π/2)+10f(t) = 2\cos(t + \pi/2) + 10, donde t∈[0,4]t \in [0, 4]. Se pide:

(a)

(1 punto) Calcular los máximos y mínimos de la función.

(b)

(0.75 puntos) Demostrar que el depósito no se vacía nunca.

(c)

(0.75 puntos) Deducir durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas.

Enunciado: Pregunta 2. Opción A · Matemáticas II PAU Asturias Extraordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) Calcular los máximos y mínimos de la función. Valor de t del mínimo relativo.

Solución: t=π/2≈1,5708t = \pi/2 \approx 1{,}5708

(a) Valor de f en ese mínimo.

Solución: f(π/2)=8f(\pi/2) = 8

(a) Valor máximo de f en [0, 4].

Solución: f(4)≈11,51f(4) \approx 11{,}51 (máximo en el extremo t=4t = 4; no hay máximo relativo en el interior)

(b) Demostrar que el depósito no se vacía nunca.

Solución: El mínimo absoluto de f en [0, 4] es 8 > 0, luego el depósito nunca se vacía.

(c) Deducir durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas.

Solución: 4−π/2≈2,42924 - \pi/2 \approx 2{,}4292 h

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