Examen de Matemáticas II PAU Asturias 2021 · Extraordinaria

Bloque 1.A Dado el sistema de ecuaciones

$$\left. \begin{array}{rcrcr} ax & & + z & = & a \\ 2x & - y & - z & = & -1 \\ x & & + az & = & a \end{array} \right\} \quad a \in \mathbb{R}$$

Bloque 1.A Dado el sistema de ecuaciones

$$\left\{\begin{array}{rcrcl} ax & & + & z & = a \\ 2x & - & y & - & z & = -1 \\ x & & + & az & = a \end{array}\right. \quad a \in \mathbb{R}.$$

a)

Estudia y clasifica el sistema según los valores de $a$. (1.5 puntos)

b)

Resuélvelo para los casos en que el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)

Bloque 1.A Dado el sistema de ecuaciones

$$\left. \begin{array}{rcrcr} ax & & + z & = & a \\ 2x & - y & - z & = & -1 \\ x & & + az & = & a \end{array} \right\} \quad a \in \mathbb{R}$$

Bloque 1.B Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcula:

a)

Si existe, su inversa. (1 punto)

b)

La matriz $X$ cuadrada de orden 3 que verifica:

$$(X + A)^2 - X^2 - X \cdot A = I_3 \quad (I_3 \text{ matriz identidad de orden 3}).$$

(1.5 puntos)

Sea la función $f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$

Bloque 2.A Sea la función $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.

a)

Haz un esbozo de su gráfica determinando: dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y regiones de convexidad y concavidad.

(1.5 puntos)

Sea la función $f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$

Bloque 2.A Sea la función $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.

b)

Calcula el área de la región limitada por la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 1$, la recta $y = 1$ y el eje de ordenadas.

(1 punto)

$\text{u}^2$

Sea la función $f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$

Bloque 2.B En una nave industrial se quiere instalar una pantalla de cine (ver figura). La forma de la nave es la descrita por la gráfica de la función $f(x) = 12 - \frac{x^2}{3} \ge 0$. Calcula los valores positivos $(x,y)$ que hacen máxima el área de la pantalla. (2.5 puntos)

Bloque 3.A

Sea el tetraedro de la figura formado por $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,6)$ y $D(\alpha, 3, 1)$.

b)

La ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$. (0.75 puntos)

c)

El valor de $\alpha$ para que el vector $\vec{AD}$ sea perpendicular al plano $\pi$ anterior. (0.75 puntos)

Bloque 3.A

Sea el tetraedro de la figura formado por $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,6)$ y $D(\alpha, 3, 1)$.

a)

El área del triángulo limitado por los puntos $A$, $B$ y $C$. (0.5 puntos)

$\text{u}^2$

d)

Para $\alpha = 5$, el punto $D'$ simétrico de $D$ respecto al plano $\pi$. (0.5 puntos)

$D'($

,

,

$)$

Bloque 3.B

Sean el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r: \begin{cases} x+y+z=0 \\ x+z=0 \end{cases}$

a)

Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$. (0.75 puntos)

Escribe las expresiones de $x$, $y$ y $z$ en función del parámetro $\lambda$:

$x =$

$y =$

$z =$

Bloque 3.B

Sean el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r: \begin{cases} x+y+z=0 \\ x+z=0 \end{cases}$

b)

Calcula la distancia de $r$ a $P$ y el punto $Q \in r$ donde se alcanza dicha distancia.

c)

Calcula la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y está a la misma distancia de $P$ que $r$.

Bloque 4.A Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja se extrae al azar un dado de la caja C. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:

Bloque 4.A Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja se extrae al azar un dado de la caja C. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:

a)

La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos. (0.75 puntos)

b)

La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color. (0.75 puntos)

c)

La probabilidad de que el dado sea rojo. (1 punto)

Bloque 4.A Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja se extrae al azar un dado de la caja C. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:

Bloque 4.B Se tiene un suceso con variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media $\mu = 30$ y desviación típica $\sigma = 10$. Calcula:

a)

La probabilidad de que $X \le 20$. (1.25 puntos)

b)

Se hace una revisión de los datos y se observa que la probabilidad del $50\,\%$ se alcanza en el valor $X \le 35$, y la probabilidad del $75\,\%$ se alcanza en el valor $X \le 40$. ¿Cuáles son las nuevas media y desviación típica? (1.25 puntos)

(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x) = P(Z \le x)$, $F(0) = 0.5$, $F(0.6745) = 0.75$, $F(0.8416) = 0.8$, $F(1) = 0.8413$, $F(1.375) = 0.9154$, $F(1.5) = 0.9332$, $F(2) = 0.9772$)