Examen de Matemáticas II PAU Asturias 2024 · Extraordinaria

Pregunta 1. Una fábrica produce tazas, platos y teteras de cerámica. Por cada uno de estos productos se utiliza una cantidad fija de material, que se introduce en la máquina de la cual sale la pieza preparada para el embalaje. En cada taza la máquina utiliza 5 minutos, 4 en cada plato y 8 en cada tetera. El coste del material utilizado es 3 € cada taza, 4 € cada plato y 3 € cada tetera. Se hace un estudio de la producción durante 50 minutos y se calcula que el coste es de 26 €.

(a)

(0.75 puntos) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbelo matricialmente.

(b)

(1 punto) Suponiendo que en estos 50 minutos se fabricaron en total exactamente 8 piezas, calcula, si es posible, cuántas unidades se produjeron de cada tipo.

(c)

(0.75 puntos) Si se consigue rebajar el tiempo de elaboración de cada tetera de 8 a 5 minutos, ¿sería posible fabricar exactamente 10 piezas?

Pregunta 2. Sea $x \in \mathbb{R}$ y las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

(a)

[0.75 puntos] Decide de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes $CAB$ y $BAC$. ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse?

¿Se puede realizar el producto $CAB$?

¿Se puede realizar el producto $BAC$?

Dimensión de la matriz resultante (filas $\times$ columnas):

$\times$

(b)

[1.75 puntos] Calcula según los valores de $x$ el rango de $A$. Para $x = 0$, comprueba que existe $A^{-1}$ y calcúlala.

$x =$

$\operatorname{rango}(A)$ para dicho valor crítico de $x$:

$\operatorname{rango}(A)$ para cualquier otro valor de $x$:

$\det(A) =$

Pregunta 3. Se considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{1 - x}$.

(a)

(1 punto) Calcula el dominio de la función $f$ y sus asíntotas.

(b)

(1 punto) Halla en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(c)

(0.5 puntos) Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de $f$.

Dada la función $f(x) = \operatorname{sen}(\pi - 2x)$.

(a)

(1.25 puntos) Calcula una primitiva que pase por el punto $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$.

Dada la función $f(x) = \operatorname{sen}(\pi - 2x)$.

(b)

(1.25 puntos) Calcula el área limitada por $f$, el eje $X$ y las rectas $x = -\dfrac{\pi}{4}$ y $x = \dfrac{\pi}{4}$.

Se consideran los puntos $A = (0, -1, 1)$ y $B = (2, 1, 3)$ de $\mathbb{R}^3$.

(a)

(1.25 puntos) Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.

Se consideran los puntos $A = (0, -1, 1)$ y $B = (2, 1, 3)$ de $\mathbb{R}^3$.

(b)

(1.25 puntos) Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ perpendicular al plano $\pi' \equiv x + y + z = 3$ y que contiene al punto $Q = (1, 0, 1)$.

Pregunta 6. Se consideran los puntos $A = (1, 1, 1)$, $B = (1, 0, 2)$, $C = (-1, 1, 3)$ y $D = (-1, 0, 1)$.

(a)

[0.75 puntos] Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.

(b)

[0.75 puntos] Calcula la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A$, $B$ y $C$.

(c)

[1 punto] Calcula el punto $P$ intersección de $r$ y $\pi$ del apartado anterior.

$P = ($

,

,

$)$

En un instituto el 55 % de los estudiantes del curso 2023-2024 hacen el Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología. El 30 % de los estudiantes que cursan el Bachillerato de Ciencias y Tecnología cursan como optativa la asignatura ‘Proyecto de Investigación Integrado’ y de los que no hacen este Bachillerato, el 40 % cursan esta asignatura como optativa.

(a)

(1.25 puntos) Tomado un estudiante al azar del total de matriculados en Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que curse la asignatura ‘Proyecto de Investigación Integrado’?

(b)

(1.25 puntos) Si un estudiante elegido al azar no cursa la asignatura ‘Proyecto de Investigación Integrado’, ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología?

Pregunta 8. En una comunidad autónoma se estudia la cantidad media de basura que se genera por habitante durante dos meses. Se observa que sigue una distribución normal de media $85\text{ Kg}$ y desviación típica $15\text{ Kg}$.

Valores de la función de distribución $N(0, 1)$

$F(x) = P(Z \le x)$, $F(0) = 0.5$, $F(0.15) = 0.5596$, $F(0.3333) = 0.6294$, $F(0.385) = 0.65$, $F(0.5596) = 0.7112$, $F(0.6294) = 0.7356$, $F(0.8159) = 0.7939$, $F(0.9) = 0.8159$, $F(1.28) = 0.9$.

(a)

[0.75 puntos] ¿Qué porcentaje de población genera más de $90\text{ Kg}$ cada dos meses?

%

(b)

[0.75 puntos] Si se toma una muestra de $10000$ habitantes, ¿cuántos generan menos de $90\text{ Kg}$ de basura?

(c)

[1 punto] Se hace una campaña de concienciación y se observa que de las $10000$ personas de la muestra, $5596$ generan menos de $70\text{ kg}$ de basura. Suponiendo que se mantiene la desviación típica, ¿cuál es la nueva media? ¿Ha funcionado la campaña?