Examen de Matemáticas II PAU Asturias 2023 · Extraordinaria

Sea $a \in \mathbb{R}$ y $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$.

(a)

[0.75 puntos] Calcula el determinante y el rango de $P$ para cada valor de $a$.

(b)

[1 punto] Para $a = 1$ ¿existe $P^{-1}$? En caso afirmativo calcúlala.

(c)

[0.75 puntos] Para $a = 1$, calcula $\det(M)$ sabiendo que $PM = M^2$.

Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

$$\begin{cases} x - y + az = -1 \\ 2x + y = 1 \\ y + 2z = 1 \end{cases}$$

(a)

[1 punto] Discute el sistema según los valores de $a$.

(b)

[0.75 puntos] Resuelve el sistema para el caso $a = -3$ si es posible. (Expresa la solución en función del parámetro $\alpha$, tomando $x = \alpha$ o $z = \alpha$).

(c)

[0.75 puntos] Encuentra, en caso de que exista, un valor de $a$ que verifique $x = 1$. Calcula la solución en ese caso.

Sean $A, B \in \mathbb{R}$ y $f(x) = \dfrac{x^2 + A}{Bx - 1}$. Se pide:

(a)

[0.75 puntos] Calcular $A$ y $B$ para que la gráfica de la función pase por el punto $(0, -3)$ y tenga un extremo relativo en $x = -1$.

(b)

[1.25 puntos] Para los valores de $A = 3$ y $B = 1$, estudia si la función tiene asíntotas y extremos relativos.

(c)

[0.5 puntos] Para los valores $A = 3$ y $B = 1$, y basándose en los resultados obtenidos en el apartado anterior, realice un esbozo de la función.

Se considera la función $f(x) = x e^{2x^2}$.

(a)

[1.5 puntos] Calcula una primitiva de $f(x)$, que pase por el punto $(0, -1)$. (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable $t = 2x^2$).

Se considera la función $f(x) = x e^{2x^2}$.

b)

(1 punto) Calcula el área encerrada por la gráfica de $f$, las rectas $x = 0$ y $x = 1$.

Sea $s$ la recta de ecuación $x - 2 = \dfrac{y - 2}{-1} = z$, y $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0, 1)$ y $B = (2, 1, 2)$.

a)

(1 punto) Indica la posición relativa de $r$ y $s$.

b)

(0.75 puntos) Calcula el plano paralelo a $r$ y que contiene a $s$.

Sea $s$ la recta de ecuación $x - 2 = \dfrac{y - 2}{-1} = z$, y $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0, 1)$ y $B = (2, 1, 2)$.

c)

(0.75 puntos) Calcula la distancia entre las rectas $r$ y $s$.

Dados dos planos $\pi \equiv x + y + z = 3$, $\pi' \equiv x + y = 3$ y el punto $A = (2, 1, 6)$

a)

(0.75 puntos) Calcula un vector director y un punto de la recta $r$ intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$.

Dados dos planos $\pi \equiv x + y + z = 3$, $\pi' \equiv x + y = 3$ y el punto $A = (2, 1, 6)$

(b)

[1 punto] Calcula el punto $P$ de $\pi$ tal que el segmento $AP$ es perpendicular al plano $\pi$.

$P = ($

$,$

$,$

$)$

(c)

[0.75 puntos] Calcula el punto $A'$ simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$.

$A' = ($

$,$

$,$

$)$

Una imprenta compra la tinta a dos empresas distintas. En la empresa A compra el 60% de sus pedidos, y el resto a la empresa B. Se observa que el 1.6% de las cajas de tinta de la empresa A llegan con defecto, mientras que de la empresa B sólo el 0.9% son defectuosas. Se toma una caja al azar:

(a)

[1.25 puntos] Calcula la probabilidad de que la caja sea defectuosa.

(b)

[1.25 puntos] Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A.

Pregunta 8. Las calificaciones de la asignatura Análisis Matemático I de la Facultad de Matemáticas siguen una distribución $N(5, 2)$.

* Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \le x)$, $F(0) = 0.5$, $F(1.25) = 0.8944$, $F(0.05) = 0.52$, $F(0.52) = 0.6985$, $F(0.8944) = 0.8133$, $F(1) = 0.8413$.

(a)

(0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota mayor o igual que $7.5$.

(b)

(0.75 puntos) Calcula la probabilidad de que un estudiante haya obtenido una nota entre $3$ y $5$.

(c)

(1 punto) Se modifica sistema de enseñanza de forma que la desviación típica ahora es $1.5$ y la probabilidad de obtener una nota menor o igual que $6$, sea $0.52$. ¿Cuál sería la nueva media? ¿Ha funcionado el sistema aplicado?