Examen de Matemáticas II PAU Andalucía 2026 · Ordinaria Suplente 2

La potencia de pérdida $P(t)$ (en vatios) en una máquina, debido a la fricción, depende del tiempo de uso $t$ (en años) según la función $P(t) = \dfrac{4t}{1 + t^2}$ siendo $t \ge 0$.

a)

[1,25 puntos] Calcula en qué momento la potencia de pérdida es máxima.

años

b)

[1,25 puntos] La energía total perdida en los $t$ primeros años viene dada por la expresión $E(t) = \displaystyle\int_0^t P(x)\,dx$ (vatios por año). Calcula la energía total perdida en los tres primeros años.

vatios·año

Una empresa produce tres tipos de productos, $A$, $B$ y $C$. Si el precio del producto $A$ tuviera un 10 % de descuento y el de los productos $B$ y $C$ tuviera un 20 % de descuento cada uno, la suma de los precios de tres productos, uno de cada tipo, sería 66 €. El precio total sin descuento de 3 productos del tipo $A$ y 4 productos del tipo $B$ es 140 €.

a)

[1,25 puntos] ¿Cuánto valdrán 3 productos de tipo $A$ más 8 productos de tipo $C$?

€

b)

[1,25 puntos] Determina el precio, sin descuento, de cada tipo de producto, sabiendo además que el precio del producto de tipo $C$ es el doble que el de tipo $A$.

€

€

€

Considera el plano $\pi \equiv 4x + 5y - 20z + 20 = 0$.

a)

[1,25 puntos] Halla el área del triángulo cuyos vértices están determinados por la intersección de $\pi$ con los ejes coordenados.

b)

[1,25 puntos] Halla los planos paralelos a $\pi$ que distan 2 unidades del punto $P(2,2,1)$.

Considera los planos $\pi_1 \equiv 2x - y - z = 7$, $\pi_2 \equiv x - 2y + z = 3$ y el punto $P(1, 1, 0)$.

a)

[1,25 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto $P$ y es paralela a ambos planos.

b)

[1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y es perpendicular a $\pi_1$ y a $\pi_2$.

Determina para qué valores de $a$ el límite

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^{-ax} - (1 - ax)\cos(2x)}{x^2}$$

vale 6.

EJERCICIO 4.2

Las tallas de las niñas al nacer se distribuyen según una distribución normal de media $50\text{ cm}$ y desviación típica $1{,}8\text{ cm}$.

a)

[1 punto] Halla la probabilidad de que una niña al nacer mida más de $54\text{ cm}$.

b)

[1,5 puntos] Si en un hospital durante un mes han nacido $100$ niñas, ¿cuántas tendrán en el momento del nacimiento una talla entre $48{,}2$ y $51{,}8\text{ cm}$?