Ejercicio 4 · Matemáticas II PAU Andalucía Ordinaria Suplente 2 2025

Tema: Sentido numérico · Del examen Ordinaria Suplente 2 (2025)

Enunciado

Considera la matriz A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}.

a)

[1,5 puntos] Comprueba que A3+I=OA^3 + I = O, siendo II la matriz identidad y OO la matriz nula. Calcula A−1A^{-1}.

b)

[1 punto] Calcula A2025A^{2025}.

Enunciado: Ejercicio 4 · Matemáticas II PAU Andalucía Ordinaria Suplente 2 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Matriz A2A^2

Solución: A2=(−1011−1−1−111)A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

a) Comprobación de que A3+I=OA^3 + I = O

Solución: -I

a) Cálculo de A−1A^{-1}

Solución: A−1=(10−1−1111−1−1)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}

b) [1 punto] Calcula A2025A^{2025}

Solución: -I

Matriz A2A^2:

Solución: -1

Matriz A2A^2:

Solución: -1

Matriz A2A^2:

Solución: -1

Matriz A2A^2:

Solución: 1

Matriz A2A^2:

Solución: 1

Conclusión sobre A3A^3 a partir de A2⋅AA^2 \cdot A (indica el valor de A3A^3):

Solución: -I / - I / A^3 = -I / A^3=-I / -identidad / -(I) / -1*I

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: 1

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: 0

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: -1

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: -1

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: 1

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: 1

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: 1

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: -1

Matriz inversa A−1A^{-1}:

Solución: -1

Expresión de A2025A^{2025} en función de II o resultado explícito:

Solución: -I / - I / -identidad / -(I) / -1*I

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