Exercices de Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Bac Polynésie

15 exercices de Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité tombés au Bac de Mathématiques (Polynésie) (2021-2026). Avec corrigé.

Exercice 2 - Question 2 · Polynésie 2026 (jour 1)

Exercice 2 - Question 2: On considère la fonction g définie sur R par g(x) = x e^x. Affirmation 2 : La fonction g est convexe sur l'intervalle [-2 ; +infini[. Indiquer si l'affirmation est vraie ou fausse et justifier.

Exercice 4 - Affirmation 1 · Polynésie 2026 (jour 2)

Indiquer si l'affirmation 1 est vraie ou fausse et justifier : la fonction f(x) = x exp(x^2) est concave sur ]-infini ; 0].

Exercice 3 - Partie A : Dérivation · Polynésie 2025 (jour 1)

Partie A (questions 1 et 2) : Dériver fn pour n >= 1, justifier le tableau de variations de fn (signe de la dérivée, valeurs remarquables et limite en +infini) et justifier que A(1; e^(-1)) appartient à Cn.

Exercice 4 - Question 5 : Convexité · Polynésie 2025 (jour 1)

Affirmation 5 : On considère une fonction h définie sur ]0 ; +∞[ dont la dérivée seconde est h''(x) = x ln(x) - 3x. L'affirmation indique que h est convexe sur [e^3 ; +∞[.

Exercice 2 - Modèle 2 : étude de fonction et conv… · Polynésie jour 1 - Remplacement 2025

Partie B : étude d'un modèle logistique f(x) = 800 / (1 + 15e^(-0,05x)) pour la population animale. Vérification de l'équation différentielle, estimation en 2050, limite et asymptote, sens de variation, résolution d'inéquation et étude de convexité / point d'inflexion.

Exercice 2 · Polynésie 2025 (jour 2)

Étude complète de la fonction f(x) = x ln(x-2) sur ]2 ; +∞[ : conjectures graphiques, équation f(x)=0, limite en 2, calcul de f'(x), étude de g(x)=f'(x) et calcul de g'(x), variations et signe de g, sens de variation de f, convexité et point d'inflexion, et nombre de tangentes de coefficient directeur égal à 3.

Exercice 3 - Question 1 · Polynésie 2023 (jour 1)

Déterminer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant : la fonction f définie sur R par f(x) = e^x - x est convexe.

Exercice 2 - Partie B · Polynésie jour 1 - Remplacement 2023

Partie B : Conjectures graphiques de points d'inflexion, étude de convexité de la fonction h, équation de la droite (AB) et détermination des coefficients a et b par tangence.

Exercice 3 · Polynésie 2023 (jour 2)

Étude graphique de fonctions et de leurs dérivées successives (Partie A) suivie de l'étude analytique d'une fonction logistique g(x) = 4 / (1 + e^(-kx)) (Partie B).

Exercice 4 - Question 4 · Polynésie 2023 (jour 2)

Soit f(x) = ln(x^2 + 2x + 2). Indiquer si l'affirmation 'La fonction f est convexe sur l'intervalle [-3 ; 1]' est vraie ou fausse et justifier.

Exercice 1 - Dérivation et convexité · Polynésie 2022 (jour 1)

Questions 1, 4 et 5 de l'exercice 1 (QCM) portant sur le calcul de la dérivée de g(x) = ln(x^2+x+1), la convexité de f à partir du tableau de variations de f', et les extremums/variations de f à partir de la courbe représentative de f'.

Exercice 3 · Polynésie jour 1 - Remplacement 2022

Partie 1 : Étude de la fonction g(x) = (2 ln x)/x (dérivée, tableau de variations, limites et tableau de signes). Partie 2 : Étude de la fonction f(x) = (ln x)^2 (primitive de g, convexité, variations, équation de la tangente en e et inégalité déduite sur ]0 ; e]).

Exercice 1 - Dérivation · Polynésie 2022 (jour 2)

Questions 1 et 5 de l'exercice 1 : trouver l'expression de la dérivée de f(x) = x*ln(x) - x + 1, et déterminer l'équation réduite de la tangente en x = 1 pour f(x) = x*e^x.

Exercice au choix - Exercice A · Polynésie 2021 (jour 1)

Exercice A : lectures graphiques (tangente et convexité), résolution d'une équation différentielle et étude analytique d'une fonction exponentielle.

Exercice au choix - Exercice B · Polynésie 2021 (jour 1)

Exercice B : étude d'une fonction auxiliaire avec logarithme népérien f(x) = -30x + 50 + 35 ln(x) sur [1 ; 4] (dérivée, variations, solution unique alpha de f(x)=0, signe de f), puis application à l'optimisation d'une fonction bénéfice B(x) = -15x^2 + 15x + 35x ln(x).

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