Exercice 4 - Question 5 : Convexité · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 1)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Jour 1 (2025)

Énoncé

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

5. On considère une fonction hh définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ dont la dérivée seconde est définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par:

h′′(x)=xln⁡x−3xh''(x) = x\ln x - 3x

Affirmation 5: La fonction hh est convexe sur [e3 ; +∞[[\mathrm{e}^3\,;\,+\infty[.

Vraie

Fausse

Énoncé: Exercice 4 - Question 5 : Convexité · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Affirmation 5 : La fonction hh est convexe sur [e3 ; +∞[[\mathrm{e}^3\,;\,+\infty[.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 5

Réponse : Pour tout x>0x > 0, h′′(x)=x(ln⁡x−3)h''(x) = x(\ln x - 3). Comme x>0x > 0, h′′(x)≥0  ⟺  ln⁡x≥3  ⟺  x≥e3h''(x) \ge 0 \iff \ln x \ge 3 \iff x \ge \mathrm{e}^3. h′′h'' est positive sur [e3 ; +∞[[\mathrm{e}^3\,;\,+\infty[, donc hh y est convexe.

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

Résous-le ici : correction automatique, indices et corrigé détaillé.

‹ Exercice 3 - Partie A : Dérivation · Polynésie 2025 (jour 1) · Exercice 2 - Modèle 2 : étude de fonction et conv… · Polynésie jour 1 - Remplacement 2025 ›

Plus d’exercices de Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité