Exercice 3 - Partie A : Dérivation · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 1)

Exercice 3. (5 points)

On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par:

$$f_0(x) = \mathrm{e}^{-x} \quad \text{et, pour } n \ge 1, \quad f_n(x) = x^n \mathrm{e}^{-x}.$$

Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A: Étude des fonctions $f_n$ pour $n \ge 1$

On considère un entier naturel $n \ge 1$.

1. a.

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$. Montrer que pour tout $x \ge 0$,

$$f'_n(x) = (n - x)x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}.$$

1. b.

Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous:

2.

Justifier par le calcul que le point $A(1\,;\,\mathrm{e}^{-1})$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_n$.