Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 2)

Partie A

Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.

1.

Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.

2.

Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_2$ au point d'abscisse 4.

3.

Donner, avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $C_1$.

Partie B

Soit un réel $k$ strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$g(x) = \frac{4}{1 + e^{-kx}}$$

1.

Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

2.

Prouver que $g'(0) = k$.

3.

En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.