Exercice 3 · Bac Mathématiques Polynésie jour 1 - Remplacement 2022

Énoncé

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$ par:

$g(x) = \frac{2\ln x}{x}$

On note $g'$ la dérivée de $g$ . Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif:

$g'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}$

On dispose de ce tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$ :

Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau:

En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$ .

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x) = (\ln(x))^2$ .

Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l'intervalle $]0; +\infty[$ .

Démontrer que sur l'intervalle $]0; +\infty[$ , la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$ .

À l'aide de la partie 1, étudier:

En déduire que, pour tout réel $x$ dans $]0; \mathrm{e}]$ :

$(\ln(x))^2 \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}x - 1$

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Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

1. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $g'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}$

Réponse : $g'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}$

2. a. la valeur $\frac{2}{\mathrm{e}}$

Réponse : $g(\mathrm{e}) = \frac{2}{\mathrm{e}}$

2. b. les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition

Réponse : $g$ est strictement croissante sur $]0 ; \mathrm{e}]$ et strictement décroissante sur $[\mathrm{e} ; +\infty[$

2. c. les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition

Réponse : $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$

3. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ .

Réponse : $g(x) < 0$ sur $]0 ; 1[$ , $g(1) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]1 ; +\infty[$

Les réponses des 5 questions restantes et l’explication pas à pas sont réservées aux membres Premium. Premium

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